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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\lfoot{\small{CG-IG juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Centres étrangers~\decofourright\\juin 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Dans une entreprise créée en 1994, on étudie l'évolution annuelle de la proportion de salariés payés au SMIC, par rapport au nombre total de salariés de
l'entreprise. Le tableau ci-dessous indique le nombre $x$ d'années écoulées
depuis 1994 ainsi que le pourcentage $y$ de salariés payés au SMIC pour
l'année correspondante.

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&1994	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999\\ \hline
$x$		& 0		& 1		& 2		& 3		& 4		&  5 \\ \hline
$y$ 	&8,6	& 10,6	& 10,8	& 12,6	& 13 	& 14,3\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, représenter
 le nuage des points de coordonnées $(x~;~y)$ associé aux données du tableau.
Unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour $1\:\%$ sur l'axe des ordonnées. 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G$_1$ des trois
 premiers points (abscisses respectives 0, 1, 2) et celles du point moyen  G$_2$ des trois autres points.

		\item Placer G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et tracer la droite  (G$_1$G$_2$). 	

		\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$) .

	\end{enumerate}

\item On réalise avec la droite (G$_1$G$_2$) un ajustement du nuage de points représenté à la question \textbf{1}.

	\begin{enumerate} 
		\item Utiliser le graphique pour estimer quel serait le pourcentage de salariés payés au SMIC en 2001.

		\item Utiliser l'équation de la droite (G$_1$G$_2$) pour estimer au cours de quelle
année le pourcentage de salariés payés au SMIC serait supérieur à $20\:\%$

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un groupe représentatif d'une population est constitué de $\np{1300}$ personnes.
Il compte $667$~personnes de sexe féminin. Parmi celles-ci, $168$ ont moins de 20 ans et $384$ ont entre 20 et 65 ans.

Parmi les personnes de sexe masculin, $176$ ont moins de 20 ans et $192$ ont plus de 65 ans.

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et remplir le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} 	&Moins		& Entre 		& Plus 		& \\ 
\multicolumn{1}{c|}{} 	&de 20 ans 	& 20 et 65 ans 	& de 65 ans & Total\\ \hline
Personnes 	de			& 			& 				& 			& \\
 sexe féminin 			& 			& 				& 			& \\ \hline
Personnes 	de			& 			&	 			& 			& \\
 sexe masculin 			& 			& 				& 			& \\ \hline
Total 					& 			& 				& 			& \nombre{1300}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Dans les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.

\item On choisit au hasard une personne dans le groupe de $1\:300$ personnes.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité qu'elle soit de sexe masculin
 (évènement A) ?		
		\item Quelle est la probabilité qu'elle ait moins de 20 ans (évènement B) ?
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements A $\cap$ B et A $\cup$ B.
	\end{enumerate}
\item On choisit à présent au hasard une personne parmi les personnes de sexe masculin du groupe.

Quelle est la probabilité qu'elle ait entre 20 et 65 ans ? 	
\item On choisit au hasard dans le groupe de $1\:300$ personnes une personne de plus de 65 ans.

Quelle est la probabilité qu'elle soit de sexe féminin ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 10\text{e}^x + 16.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère 
orthogonal \Oij.

Les objectifs de ce problème sont d'étudier la fonction $f$ et de tracer
 la courbe $\mathcal{C}$ , puis de calculer une aire qui lui est associée.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend 
vers $- \infty$.

Interpréter graphiquement ce résultat.
	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ 
f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x -8\right)$.
		\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout nombre 
réel $x$ :

\[f'(x) = 2 \text{e}^x\left(\text{e}^x - 5\right).\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des deux points A et B situés à l'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. (On pourra utiliser le résultat de la question \textbf{2. a.})
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en
 portant les arrondis à $10^{-1}$ près.
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& $-3$	& $-2$	& $-1$	&0	& 1		& 2 &2,2\\ \hline
$f(x)$	& 		& 		& 12,5	& 7	&$-3,8$	& 	& 7,2\\ \hline
\end{tabularx}\] 
 
		\item Tracer $\mathcal{C}$. Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1~cm  sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate} 
\item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en cm$^2$, de la partie limitée sur le graphique par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des  ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$.
\end{enumerate}
\end{document}