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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Métropole~\decofourright\\ septembre 2001}} 
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Avant de commercialiser une voiture, un constructeur fabrique une pré-série de \nombre{1000}~véhicules afin d'en étudier les éventuels défauts. Ces voitures fonctionnent, soit avec un moteur essence, soit avec un moteur diesel.

Deux types de défauts, notés D$_{1}$ et D$_{2}$, sont apparus.

Voici le schéma que l'on a pu construire à l'issue de l'étude :

\begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.3)(13,5)
% \psgrid
\psframe(4,-0.3)(10,3.5)
\psline(7,0)(7,3.5)
\psellipse(7,1)(1.4,1) \psellipse(7,2.2)(1.4,1)
\rput(4.5,2){335} \rput(9,2){631} \rput(6.2,0.8){4} \rput(7.4,0.8){7}
\rput(6.5,1.7){6} \rput(7.5,1.7){2}
\rput(6.2,2.4){5} \rput(7.4,2.4){10}
\rput(4,4.2){350 voitures à moteur essence}
\rput(2,2.4){23 voitures avec}
\rput(2,1.8){le défaut D$_{1}$}
\rput(2,0.4){19 voitures avec}
\rput(2,-0.2){le défaut D$_{2}$}
\rput(10,4.2){650 voitures à moteur diesel}
\psline(4,4)(5,3.5) \psline(9,4)(8.6,3.5)
\psline(3.5,2.4)(5.6,2.4) \psline(3.5,0.4)(5.85,0.4)
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,4cm}

Chaque voiture possède un numéro de série inscrit sur une clé, un employé mélange toutes les clés.
 
On choisit au hasard l'une d'entre elles.

Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront donnés sous forme décimale.

\begin{enumerate}
\item On considère les évènements suivants :

$A$ \og la clé est celle d'une voiture à moteur diesel \fg,

$B$ \og la clé est celle d'une voiture ne présentant aucun défaut \fg,

$C$ \og la clé est celle d'une voiture présentant un seul défaut \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités suivantes : $p(A),\: p(B)$ et 
$p(C)$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A~\cap~B$, puis 
calculer $p(A~\cap~B)$.
	\end{enumerate}
\item On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

Définir par une phrase l'évènement $\overline{A}~\cap~ C$,
puis calculer $p\left(\overline{A}~\cap~C\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Le constructeur décide le lancement en série des voitures à 
condition que plus de 98\:\% des voitures
à moteur diesel, et plus de 95\:\% des voitures à moteur essence ne présentent aucun défaut.

Le lancement en série peut-il débuter ? Justifier.

		\item Une nouvelle directive décide le démarrage en série si moins 
de 3,5\:\% de l'ensemble des voitures présentent au moins un défaut.

La construction en série peut-elle démarrer ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

Les espaces publicitaires d'un magazine sont soumis à deux contraintes :

$\bullet~$ D'une part, il ne doit pas y avoir plus de 20 publicités.

$\bullet~$ D'autre part, l'aire du domaine occupé par l'ensemble de la publicité  ne doit pas dépasser \np{2240}~cm$^2$.

Dans ce magazine, il existe deux types de formats publicitaires :

$\bullet~$ Un \og grand format \fg{} d'aire 224 cm$^2$ ;

$\bullet~$ Un \og petit format \fg{} d'aire 64 cm$^2$.

On appelle $x$ le nombre de publicités \og grand format \fg{} et 
$y$ le nombre de publicités \og petit format \fg.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que les couples d'entiers $(x,~ y)$ vérifiant les contraintes de l'énoncé sont solutions du système (S) suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&  \geqslant &  0\\
y &\geqslant & 0\\
x + y &\leqslant & 20\\
7 x + 2 y& \leqslant & 70\\
\end{array}\right.\]

\vspace{0,4cm}

		\item Représenter graphiquement l'ensemble des points $M(x,~ y)$ vérifiant le système (S) dans un repère orthonormal d'unité 1 cm. (On hachurera la partie du plan qui ne convient pas).
	\end{enumerate}
\item Le magazine réalise un bénéfice de \np{1200}~F par 
publicité  \og grand format \fg{} et de $600$~F par publicité \og petit format \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le bénéfice B dégagé par l'édition de $x$ publicités
\og grand format \fg{} et $y$ publicités \og petit format \fg.
		\item Représenter graphiquement la droite $\Delta$ du bénéfice dans 
le cas où B~=~\nombre{12000}~F.
		\item Expliquer la méthode graphique qui permet de déterminer les nombres $x$ et $y$ de publicités induisant un bénéfice maximal pour le magazine. Calculer ce bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Probl\`eme\hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal,(unité : 2~cm sur chaque axe).

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Interpréter ce résultat pour $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie 
sur $]0~ ;~+ \infty[$ par $f'(x)= \dfrac{x + 1}{x^2}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$ et dresser 
le tableau de variation de $f$.
		\item Calculer $f(1)$ et, à l'aide du tableau de variations, étudier le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera des valeurs approchées à $0,1$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$ 		& 	0,2&	0,5&	1&	2&	4&	6& 8\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&	& &	\\ \hline	
\end{tabularx}

\medskip

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite T.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[F(x) = (x - 1) \ln x\]

 est une primitive de $f$ sur cet intervalle.
\item Hachurer la partie D du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = \text{e}$.
\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de ta partie D. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette aire.
\end{enumerate}
\end{document}