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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G. juin 2001}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{CG-IG mai 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Pondichéry~\decofourright\\ mai 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
 
\medskip

Un assembleur en micro-informatique utilise pour le montage des ordinateurs qu'il vend :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un processeur P$_1$ de haut de gamme ;
\item[$\bullet~$]  un processeur P$_2$ de gamme moyenne ;
\item[$\bullet~$]  une carte graphique G performante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il doit pouvoir disposer, au début du mois de décembre, de 50~processeurs P$_1$, 80~processeurs P$_2$ et 90~cartes graphiques G.

Il commande son matériel début novembre, afin d'être livré pour le début du mois de décembre et s'adresse pour cela à un fournisseur qui propose à ses clients des lots :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le lot L$_1$ composé de 5 processeurs P$_1$, 5 processeurs P$_2$ et 5 cartes
 graphiques G ;
\item[$\bullet~$] le lot L$_2$ composé de 2 processeurs P$_1$, 4 processeurs P$_2$ et 6 cartes
 graphiques G.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour bénéficier d'une remise, l'assembleur doit commander au moins 
3 lots L$_1$ et 3 lots L$_2$.

\textbf{Après cette remise}, le fournisseur facture à l'assembleur : \np{5900} francs un
processeur P$_1$, \np{3200} francs un processeur P$_2$ et 900 francs une carte graphique G.

On note $x$ le nombre de lots L$_1$ et $y$ le nombre de lots L$_2$ que doit commander l'assembleur début novembre, afin de satisfaire la demande pour début décembre.

\begin{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doivent satisfaire
 $x$ et $y$ afin que l'assembleur obtienne les produits dont il a besoin, tout en profitant de la remise du fournisseur, se traduisent par le système d'inéquations ci-après.

\[\text{(S)} \left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant & 3\\
y &\geqslant &  3\\
5x+2y & \geqslant & 50\\
5x+4y & \geqslant & 80\\
5x+6y & \geqslant &  90\\
\end{array}\right.\]

\item On considère le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Déterminer la région du plan formée des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient le système (S).

On rayera la partie du plan formée des points dont les coordonnées \textbf{ne vérifient pas le système} (S) et on expliquera la démarche suivie pour les trois premières contraintes du système (S).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item À combien revient la commande d'un lot L$_1$ ?

Même question pour un lot L$_2$.

		\item Montrer que la dépense $D$ en francs, occasionnée à l'assembleur pour l'achat de $x$ lots L$_1$, et de $y$ lots L$_2$ s'exprime en fonction de $x$ et $y$ sous la forme :

\[D = \nombre{50000}x + \nombre{30000}y.\]
	
		\item Montrer que l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ correspondant à une dépense donnée $D$ sont les coordonnées de points situés sur une droite $\Delta_D$ dont on donnera l'équation réduite (sous la forme $y = mx + p$). 
		\item Tracer la droite $\Delta_D$	pour $D = \nombre{900000}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Expliquer comment, à l'aide du graphique, on peut 
déterminer le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ correspondant à une 
dépense $D$ minimale.
		\item En déduire, à l'aide du graphique, le nombre $x_0$ de lots L$_1$ et le nombre $y_0$ de lots L$_2$ que doit commander l'assembleur afin de satisfaire la demande de début décembre. Quelle est alors la dépense engagée ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Une usine fabrique en très grand nombre des pièces métalliques.

La fabrication est vérifiée journellement par prélèvement de pièces produites, dont on mesure la longueur.

En fin de journée, on calcule la longueur moyenne des pièces prélevées durant la journée et le contremaître juge que la fabrication est valable lorsque cette longueur moyenne est comprise entre 7,45~cm et 7,55~cm. Dans ce cas, on considère que la machine est bien réglée, sinon on doit procéder à son réglage.

Fin novembre, la machine est réglée et fabrique donc des pièces de longueur valable au début du mois de décembre.

Durant les 8~premiers jours du mois de décembre, on a obtenu, en fin de journée, les résultats suivants

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}\hline
Jour $x_i$				&1 		&2 		&	3 	& 4 	&5 		& 6 	& 7	 	& 8\\ \hline
Longueur moyenne $y_i$&7,50 	& 7,50	& 7,49 	& 7,49 	& 7,48 	& 7,47 	& 7,47	& 7,46\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de 
points $M_i(x_i~;~y_i)$ associé à la série statistique ci-dessus.

On utilisera comme unités :

$\bullet~$ en abscisse 1~cm pour un jour

$\bullet~$ en ordonnée : 1~cm pour $0,01$ en commençant à graduer l'axe à partir de 7,44.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs exactes des coordonnées du 
point moyen G$_1$, associé aux 4 points du nuage ayant les plus petites abscisses.

Placer G$_1$ sur le graphique.
		\item Déterminer les valeurs exactes des coordonnées du point moyen G$_2$ associé aux 4 points du nuage ayant les plus grandes abscisses.

Placer G$_2$ sur le graphique. 
		\item Tracer la droite $d = (\text{G}_1\text{G}_2)$ sur le graphique.

Déterminer l'équation réduite (sous la forme $y = mx + p$) de la droite $d$. On donnera les valeurs de $m$ et $p$ avec 6 décimales. 
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $d$ représente l'évolution, dans le temps, de la longueur des pièces fabriquées par la machine.

En utilisant le graphique, déterminer à partir de quel jour du mois de décembre la machine a-t-elle besoin d'un nouveau réglage.

Vérifier le résultat par calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = a(\ln x)^2 + b\ln x + c\]

où $a,~ b$ et $c$ sont des réels fixés.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, d'unité graphique 2~cm.
	
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $c$ sachant que : $f(1) = - \dfrac{1}{2}$.

		\item En utilisant la valeur de $c$ trouvée en \textbf{a}, déterminer $a$  et $b$ sachant que $f\left(\text{e}^2\right) = \dfrac{3}{2}$ et que le point de coordonnées
 $\left(\text{e}^3~;~\dfrac{11}{2}\right)$ est un point de $\mathcal{C}$.

	\end{enumerate}

\item On considère dans la suite la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = (\ln x)^2 - \ln x - \dfrac{1}{2}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[~ : 
\quad f(x) = \ln x(\ln x - 1) - \dfrac{1}{2}$.

En déduire la limite de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
		\item Déterminer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire

\[f'(x) = \dfrac{2\ln x -1}{x}.\]

		\item Déterminer le sens de variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs 
ci-dessous, en donnant des valeurs approchées décimales à $10^{-2}$ près:

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm}	&0,2 	& 0,5 	& 0,9 	&$\text{e}^{\frac{1}{2}}$ 	& 2 	& 3 & 4 	& 5 	& 8\\ \hline
$f(x)$	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} 		& 		& 		& 					& 		& 	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.

En utilisant la représentation graphique, expliquer pourquoi l'équation 
$f(x) = 0$ admet deux solutions distinctes dans $]0~;~5]$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que :

\[0,6 \leqslant \alpha \leqslant 0,7.\]

À l'aide de la calculette, donner une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = x (\ln x)^2 - 3x \ln x + \dfrac{5}{2}x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur  $]0~;~+ 
\infty[$. En déduire l'expression d'une primitive quelconque de $f$ sur  
$]0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la primitive de $f$ sur  $]0~;~+ \infty[$ qui prend la valeur 3 pour $x = 1$.

		\item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_5^7 f(x) \:\text{d}x$.

En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en cm$^2$, de 
la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe 
$\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 5$ et $x = 7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}