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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. - I.G. Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ novembre 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

L'Association des fournisseurs d'accès et de services internet (AFA) a relevé les données suivantes :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois			&	01/			& 04/			& 07/	& 10/& 01/& 04/& 07/&	10/\\
				& 1998 			&	1998		& 1998 &  1998 & 1999 & 1999 & 1999 &  1999\\ \hline
Rang $x_i$ du mois& 1& 2		& 3		& 4		& 5		& 6	& 7 &	8\\ \hline
Abonnements 	&		&		&		&		&		&	&	&\\
individuels $y_i$& 540	&697	&802	&960 	&\nombre{1280}&  \nombre{1500}&  \nombre{1642} & 	\nombre{1925}\\
AFA (en milliers)&		&		&		&		&		&		&	&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\begin{flushright}(\textsl{Source : http : //www.afa-france.com/html/chiffres/index.} 
htm)\end{flushright}

On considère le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus, dans
un repère orthogonal \Oij, unités : 2~cm par rang de mois en abscisses,
1~cm pour 100~milliers d'abonnements en ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter le nuage de points.
 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer G sur le graphique précédent.

	\end{enumerate}

\item On divise la série en deux parties, la première correspondant à l'année 1998 et la seconde à l'année 1999.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées des points moyens G$_1$ et G$_2$ de chacune de ces deux parties.

		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement (G$_1$G$_2$) et tracer cette
droite.

	\end{enumerate}

\item En utilisant l'équation de la droite d'ajustement

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer par le calcul une estimation du nombre d'abonnés en janvier 2001.

		\item Au cours de quel mois peut-on envisager un quintuplement (multiplication par 5) du nombre d'abonnés par rapport au mois de janvier 1988 ?

	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre les mois de janvier 1998 et janvier 1999 (on arrondira au nombre entier le plus proche).

		\item En supposant que ce pourcentage reste constant, quel serait le nombre d'abonnés prévisible en janvier 2000, puis en janvier 2001 ? 

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Une classe comprend 36 élèves âgés de 16,17 ou 18 ans.

Il y a 22 garçons dont 3 garçons âgés de 18 ans.

$50\:\%$ des élèves sont des garçons âgés de 17 ans et $25\:\%$ des élèves sont âgés de 18 ans.

$50\:\%$ des filles sont âgées de 17 ans.

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau d'effectifs suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{âges}{sexes}&	garçons&	filles&	Total\\ \hline
16 ans & & & \\ \hline
17 ans & & & \\ \hline 
18 ans & & & \\ \hline
Total & & &36 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Dans les questions suivantes, les résultats seront mis sous forme de 
fractions irréductibles.	

\item Lors d'un cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève. Calculer la probabilité des évènements suivants :

	\begin{enumerate} 
		\item A : \og l'élève interrogé a 16 ans \fg{} ;

		\item B : \og l'élève interrogé est un garçon \fg{}.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Définir sous forme d'une phrase les évènements :

\[\text{C} = \text{A} \cap \text{B} \quad \text{et} \quad \text{D} = 
\text{A} \cup \text{B}.\]

		\item Calculer la probabilité de l'évènement C.	

		\item À l'aide des probabilités de A, B et C, calculer la probabilité de l'évènement D.

	\end{enumerate}

\item Le professeur décide d'interroger au hasard un garçon. Quelle est la probabilité de l'évènement E : \og l'élève interrogé a 17 ans \fg{} ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A - étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par :

\[f (x) = x - 1,5 + \text{e}^{- x + 1}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 2~cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $1 - \text{e}^{- x + 1} = 0$.

		\item Résoudre dans $\R$	l'inéquation $1 - \text{e}^{- x + 1} \geqslant 0$.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.

		\item Vérifier que $f'(x) = 1 - \text{e}^{- x + 1}$. à l'aide de la question précédente, dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

	\end{enumerate}

\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1,5$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse $0$.

		\item Tracer la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une fonction primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
		 
On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée à $10^{-2}$ près.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B -- Application économique}

Une entreprise fabrique un produit. Le coût total de fabrication d'un produit est donné par la fonction $f$ précédente, où $x$ est exprimé en tonnes et $f(x)$ est exprimé en milliers de francs.

\begin{enumerate} 
\item Quelle quantité de produit faut-il fabriquer pour que le coût total de fabrication
soit minimal ?
 
\item Une tonne de produit est vendue $750$ F.

	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $R(x)$ la recette exprimée en milliers de francs procurée par la vente de $x$ tonnes de produit. Justifier que $R(x) = 0,75x$.

		\item Exprimer le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$.

		\item On donne le signe de l'expression $-0,25 + \text{e}^{-x + 1}$ dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabular}{|c | c c c c r|}\hline
$x$&	0& & 	$1 - \ln 0,25$& &  $+ \infty$\\ \hline
signe de $- 0,25 + \text{e}^{-x + 1}$& &	+ &0 & 	$-$& \\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\textsl{On ne demande pas de justifier ce tableau.}

Déterminer la production donnant le bénéfice maximum ; on donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}