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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{21 novembre 2017}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S Amérique du Sud~\decofourright\\21 novembre 2017}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.78\linewidth}{La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. 

Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte
suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie
doit pouvoir en fabriquer au moins $80$ avec $1$~litre de pâte liquide au chocolat.}\hfill
\parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,0)(4,3)
\psbezier(0,1)(0,0.6)(1.2,0)(2,0) \psbezier(2,0)(2.2,0)(2.6,0.5)(3.5,2.25)
\psbezier(0,1.8)(0,1.4)(1.2,0.8)(2,0.8) \psbezier(2,0.8)(2.2,0.8)(2.6,1.3)(3.5,3.05)
\psbezier(0,1.8)(0,2.2)(2,2.5)(3.5,3.05)
\psline(0,1)(0,1.8)
\psline(3.5,2.25)(3.5,3.05)
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A : modélisation par une fonction}

\medskip

Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de
la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\]

La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(7.05,6.5)
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,-4)(7.05,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.99)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.24}{7}{x dup mul x 2 mul sub 2 sub x ln 3 mul sub x div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Le repère est orthogonal d'unité $2$~cm en abscisses et $1$~cm en ordonnées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\varphi(1)$ et la limite de $\varphi$ en $0$.
		\item Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		
En déduire le signe de $\varphi(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item Montrer que sur $]0~;~+ \infty[$ : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}$.

En déduire le tableau de variation de $f$.
		\item Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur ]0~;~1].
		
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		
On admettra que l'équation $f(x) = 0$ a également une unique solution $\beta$ sur
$[1~;~+ \infty[$ avec $\beta \approx  3,61$ à $10^{-2}$ près.
		\item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
		
		\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : résolution du problème}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$ de la partie \emph{A}}.


\smallskip

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ restreinte à l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ ainsi que son symétrique $C'$ par rapport à l'axe des abscisses.

Les deux courbes $C$ et $C'$ délimitent la face supérieure du palet.
Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de $0,5$~cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.64\linewidth}{On considère un cube ABCDEFGH.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier le vecteur $\vect{\text{AC}} + \vect{\text{AE}}$. 
		\item En déduire que $\vect{\text{AG}}~\cdot~\vect{\text{BD}} = 0$. 
		\item On admet que $\vect{\text{AG}}~\cdot~\vect{\text{BE}} = 0$.
		
Démontrer que la droite (AG) est \\orthogonale au plan (BDE).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.34\linewidth}
{
\begin{flushright}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\psline(0.3,0.9)(1.7,0.3)(4.2,0.7)(4.2,3.4)(2.8,4)(0.3,3.6)(1.7,3)(1.7,3)(1.7,0.3)%ABCGHEFB
\psline(0.3,0.9)(0.3,3.6)%AE
\psline(1.7,3)(4.2,3.4)%FG
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.9)(2.8,1.3)(2.8,4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.8,1.3)(4.2,0.7)%DC
\uput[dl](0.3,0.9){A} \uput[d](1.7,0.3){B} \uput[dr](4.2,0.7){C} \uput[d](2.8,1.3){D} 
\uput[u](0.3,3.6){E} \uput[u](1.7,3){F} \uput[dr](4.2,3.4){G} \uput[u](2.8,4){H} 	
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\setcounter{enumi}{1}
\item L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BDE) est \\$x + y + z - 1 = 0$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du
plan (BDE).
		\item On admet que l'aire, en unité d'aire, du triangle BDE est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Calculer le volume de la pyramide BDEG.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type
contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur \np{10000}
~prélèvements de 1~ml de crème fraîche dans l'ensemble de la production française.

Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l'histogramme ci-dessous  :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Nombre de bactéries (en milliers)&[100~;~120[&[120~;~130[ &[130~;~140[&[140~;~150[ &[150~;~160[ &[160~;~180[\\ \hline
\small Nombre de prélèvements&\np{1597}&\np{1284} &\np{2255} &\np{1808} &\np{1345} &\np{1711}\\ \hline
\end{tabularx}

\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.003cm}
\begin{pspicture}(0,-200)(120,2500)
\psaxes[linewidth=1pt,Ox=80,Dx=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(130,0)
\psframe(20,0)(40,798.5)
\psframe(40,0)(50,1284)
\psframe(50,0)(60,2255)
\psframe(60,0)(70,1808)
\psframe(70,0)(80,1345)
\psframe(80,0)(100,855.5)
\end{pspicture}

\end{center}

%\bigskip

À l'aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l'écart-type du nombre de bactéries par prélèvement.

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ce choix de modélisation est-il pertinent? Argumenter.
		\item On note $p = P(X \geqslant 160)$. Déterminer la valeur arrondie de $p$ à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un
échantillon de $50$ prélèvements de $1$~ml de crème fraîche dans la production de cette
laiterie ; $13$~prélèvements contiennent plus de $160$~milliers de bactéries.
	\begin{enumerate}
		\item L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut
l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.
		\item Aurait-il pu l'affirmer avec une probabilité de $0,01$ de se tromper ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv,
on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psframe(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2;45)(2;135)
\uput[ur](2;45){A}\uput[ul](2;135){B}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
\item On considère l'équation 

\[(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0.\]

Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.

Cette population est estimée à \np{12000} individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les \np{60000}~individus.

\bigskip

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5\,\% par an.

L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc 

$v_0 = 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un second modèle}

\medskip

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite  $\left(u_n\right)$ définie par $u_0  = 12$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = x$.
 	\end{enumerate}
\item  On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population
dépassera les \np{50000} individus avec ce second modèle.
	
Il utilise l'algorithme suivant.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$n$ un entier naturel\\\cline{2-2}
			&$u$ un nombre réel\\ \hline
Traitement	&$n$ prend la valeur $0$\\
			&$u$ prend la valeur 12\\
			&\textbf{Tant Que} \dotfill\\
			&\hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur \dotfill\\
			&\hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur \dotfill\\
			&\textbf{Fin Tant Que}\\ \hline
Sortie 		&Afficher \dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$
tel que $u_r \geqslant 50$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l'équipe A (statut noté A)
ou l'équipe B (statut noté B) ou bien de n'en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut
noté S). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu.

Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de
dégager les tendances suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]un joueur de l'équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; il devient joueur solitaire avec une probabilité de $0,25$. Sinon, il rejoint l'équipe B ;
\item[$\bullet~~$]un joueur de l'équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l'équipe A ;
\item[$\bullet~~$]un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$ ; il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires.

On note $U_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n& s_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste des statuts d'un joueur au bout de $n$ jours. Ainsi $a_n$ est la probabilité d'être dans l'équipe A, $b_n$ celle d'être dans l'équipe B et $s_n$ celle d'être un joueur solitaire, après $n$ jours de jeu.

On a donc : $a_0 = 0$, $b_0 = 0$ et $s_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $p$ la probabilité qu'un joueur solitaire un jour donné passe dans l'équipe A le
jour suivant. Justifier que $p = \dfrac{3}{14}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
\parbox{0.5\linewidth}{Recopier et compléter le graphe probabiliste ci-contre
représentant la situation.
}
\hfill  
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(5.5,4)
\cnode*[](1,0.5){2pt}{A}\uput[l](1,0.5){A}
\cnode*[](4.5,0.5){2pt}{B}\uput[r](4.5,0.5){B}
\cnode*[](2.5,3.3){2pt}{C}\uput[u](2.5,3.3){S}
\ncarc[arcangle=-40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1,arrowscale=2]{C}{A}
\uput[ul](1.1,1.9){$\dfrac{3}{14}$}		
\end{pspicture}
\end{flushright}
}
		\item On admet que la matrice de transition est \renewcommand\arraystretch{1.5}$T = \begin{pmatrix}
\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\
\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\
\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$.\renewcommand\arraystretch{1}

Pour tout entier naturel $n$, on a donc $U_{n+1} = U_n T$.

Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = U_0T^n$.
		\item Déterminer l'état probabiliste au bout d'une semaine, en arrondissant au millième.
	\end{enumerate}
\item On pose $V = \begin{pmatrix}300 &405 &182\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel $VT$. Que constate-t-on ?
		\item En déduire un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.
	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant, où la commande \og $U[i]$ \fg{} renvoie le coefficient de la $i$-ème colonne d'une matrice ligne $U$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline	
Variables 	&$k$ un entier naturel\\
			&$U$ une matrice de taille $1 \times 3$\\
			&$T$ une matrice carrée d'ordre 3\\ \hline
Traitement 	&$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$\\
			&$T$ prend la valeur \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\
\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}\\
			&Pour $k$ allant de 1 à 7\\
			&\hspace{1cm} $U$ prend la valeur $UT$\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher $U[1]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet
algorithme ? L'interpréter dans le contexte de l'exercice.
		\item Recopier et modifier cet algorithme pour qu'il affiche la fréquence de joueurs
solitaires au bout de $13$~jours.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}