\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30  mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord
~\decofourright\\[4pt]30  mai 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}

\medskip
 
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Conditionnement des pots}

\medskip
 
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55~mL.
 
On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49~mL de crème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu  = 50$ et d'écart-type $\sigma =  1,2$.\index{loi normale} 

Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme. 
\item La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu =  50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme. 
 
On note $\sigma'$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X - 50}{\sigma'}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$. 
		\item Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$.
		\item En déduire la valeur attendue de $\sigma'$.
	\end{enumerate} 
\item Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. 

On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est $0,06$.
 
Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.\index{loi binomiale} 
		\item Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Campagne publicitaire}

\medskip
 
Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème.
 
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$~ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites.
 
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95$\,\%, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]\index{fonction exponentielle}
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$  dans un repère orthogonal du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$,  $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.
 
En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une aire}

\medskip
 
On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. \index{aire et intégrale}
\item Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$. 
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).\index{géométrie dans l'espace} 
 
On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que 

$\vect{\text{HP}}  = \dfrac{1}{4} \vect{\text{HG}}$. 

\medskip
 
\textbf{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}\index{section plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.
 
Construire le point L 
\item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
 
On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).
	\end{enumerate} 
\item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. 
\item Déterminer les coordonnées du point L. 
\item On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$.
 
Le triangle TPN est-il rectangle en T ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
 
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
 
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour tout entier naturel $n$, on note :\index{suite} 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; 
\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ? 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$. 
\item L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}.\index{algorithme} 

Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

\begin{center}

\begin{tabular}{|l l l|}\hline 
\textbf{Variables}&:& 	$n$ est un entier naturel\\ 
&&$a$ est un réel\\ 
\textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&& Affecter à $a$ la valeur 800\\
\textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \np{1100}$, faire :\\ 
&&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $a$ la valeur \ldots\\ 
Affecter à $n$ la valeur \ldots\\
\end{tabular}\\
&& Fin Tant que\\  
\textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.\index{suite géométrique} 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
	\end{enumerate} 
\item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
 
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. 
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
 
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes.
 
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient \np{1100}~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1100}~m$^3$ d'eau ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5~m$^3$ du bassin A vers le bassin B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on note :\index{suite}

\medskip
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; 
\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On a donc $a_{0} =  \np{1100}$  et $b_{0} = \np{1100}$.
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$. 
\item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.
 
Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : \index{tableur}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C \\ \hline
1& Jour $n$& Volume bassin A& Volume bassin B\\ \hline 
2 	&0 	&\np{1100,00} 	&\np{1100,00}\\ \hline 
3 	&1	&				&\\ \hline
4	&2 &\np{1187,50}	&\np{1012,50}\\ \hline 
5 	&3 	&\np{1215,63} 	&984,38\\ \hline 
6 	&4	&\np{1236,72} 	&963,28\\ \hline 
7 	&5	&\np{1252,54}	&947,46\\ \hline 
8	&6	&\np{1264,40} 	&935,60\\ \hline 
9 	&7 	&\np{1273,30} 	&926,10 \\ \hline
10 	&8 	&\np{1279,98} 	&920,02 \\ \hline
11 	&9 	&\np{1234,98}	&915,02\\ \hline 
12 	&10 &\np{1288,74} 	&911,26\\ \hline 
13 	&11 &\np{1291,55}	&908,45\\ \hline 
14 	&12 &\np{1293,66} 	&906,34\\ \hline 
15 	&13 &\np{1295,25} 	&904,75\\ \hline 
16 	&14	&\np{1296,44} 	&903,56\\ \hline 
17 	&15 &\np{1297,33} 	&902,67\\ \hline 
18 	&16 &\np{1298,00} 	&902,00\\ \hline 
19 	&17 &\np{1298,50} 	&901,50\\ \hline 
20 	&18	&\np{1298,87} 	&901,13\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la matrice carrée $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85
\end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}$ et  $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.\index{matrices}
 
On admet que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} = M X_{n} + R$. 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $S = \begin{pmatrix} \np{1300}\\ 900\end{pmatrix}$. 

Vérifier que $S = MS + R$.
 
En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)$.

\medskip
 
Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)$ et que 

$M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times  0,75^n\\ 
0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$. 

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}\np{1300} - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$. 
\item Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A. 
\item On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel $n$ vérifie 

\[\np{1300} - a_{n} < 1,5\quad  \text{et} \quad  b_{n} - 900 < 1,5.\]
 
Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.
\end{enumerate}

\newpage

{\large \textbf{Annexe 1}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\begin{center} 

{\textsc{\textbf{EXERCICE 2}}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)}
\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) 
\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub}
\uput[ul](4,1.1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

{\large \textbf{Annexe 2}}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{center} 
 
\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{4cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8.5) 
\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE
\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF
\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} 
\uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} 
\uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} 
\uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}