%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Vincent Tolleron \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pst-math,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Antilles--Guyane}, pdftitle = {Baccalauréat S - 16 juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S}} \rfoot{\small{Antilles--Guyane}} \lfoot{\small{16 juin 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 16 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct. On considère l'équation \[(E) :\qquad z^4 + 2z^3 - z - 2 = 0\] ayant pour inconnue le nombre complexe $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une solution entière de $(E)$. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, \[z^4 + 2z^3 - z - 2 = \left(z^2 + z - 2\right)\left(z^2 + z + 1\right).\] \item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes. \item Les solutions de l'équation $(E)$ sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d'une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l'usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse. \smallskip On admet que la variable aléatoire $X$, qui à chaque pièce traitée associe l'épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d'espérance $\mu_1 = 25$ micromètres ($\mu$m) et d'écart type $\sigma_1$. \smallskip Une pièce est conforme si l'épaisseur de nickel déposé est comprise entre 22,8 µm et 27,2 µm. \smallskip La fonction de densité de probabilité de $X$ est représentée ci-dessous. On a pu déterminer que $P(X > 27,2) = 0,023$. \begin{center} \psset{xunit=1.15cm,yunit=14cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(20,-0.05)(30,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=25](25,0)(20,0)(30,0) %\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=25,sigma=1.1]{15}{35} \def\f{1/(1.1*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-25)/1.1)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{30}{\f} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{27.2}{30}{\f} \psline(30,0)(27.2,0)(27.2,0.05)} \uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%} \uput[dr](27.2,0){27,2} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'une pièce soit conforme. \item Justifier que 1,1 est une valeur approchée de $\sigma_1$ à $10^{-1}$ près. \item Sachant qu'une pièce est conforme, calculer la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à $24~\mu$m. Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Une équipe d'ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L'équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d'obtenir 98\,\% de pièces conformes. La variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l'épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d'espérance $\mu_2 = 25 ~\mu$m et d'écart-type $\sigma_2$. \begin{enumerate} \item En admettant l'affirmation ci-dessus, comparer $\sigma_1$ et $\sigma_2$. \item Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle que sur 500 pièces testées, $15$ ne sont pas conformes. Au seuil de 95\,\%, peut-on rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^x\qquad \text{ et }\qquad g(x) = \text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan. Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$. La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$. \begin{center} \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,3.25) \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{2.71828 x exp} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2.5}{2.71828 x neg exp} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{1.649 x mul 0.825 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{ 0.875 0.607 x mul sub} \psline(0.5,-1.25)(0.5,3.25) \end{pspicture*} }\hfill \parbox{0.39\linewidth}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &A &B\\ \hline 1 &\footnotesize Abscisse $a$& \scriptsize Longueur $PQ$\\ \hline 2 &$- 3$ & 2 \\ \hline 3 &$- 2,5$ & 2\\ \hline 4 &$- 2$ & 2 \\ \hline 5 &$-1,5$ & 2 \\ \hline 6 &$-1$ & 2 \\ \hline 7 &$- 0,5$ & 2\\ \hline 8 &0 & 2\\ \hline 9 &0,5 & 2 \\ \hline 10 &1 & 2 \\ \hline 11 &1,5 & 2\\ \hline 12 &2 & 2 \\ \hline 13 &2,5 & 2\\ \hline 14 & & \\ \hline \end{tabularx}} \end{center} Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$. \item \begin{enumerate} \item Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ? \item Démontrer cette conjecture. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation \[\left(E_n\right) : \qquad \dfrac{\ln (x)}{x} = \dfrac{1}{n}\] ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On a donné en ANNEXE, qui n'est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$. \item Déterminer son maximum. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $n \geqslant 3$, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur [1~;~e] notée $\alpha_n$. \item D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation $\left(E_n\right)$. \begin{enumerate} \item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. \item Comparer, pour tout entier $n \geqslant 3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. \item En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge. \emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.} \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l'équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que \[1 \leqslant \alpha_n \leqslant \text{e} \leqslant \beta_n.\] \begin{enumerate} \item On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante. Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, \[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\] \item En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip On considère la suite définie par son premier terme $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = 2u_n + 6.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 9 \times 2^n - 6.\] \item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $u_n$ est divisible par 6. On définit la suite d'entiers $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n = \dfrac{u_n}{6}$. \item On considère l'affirmation : \og pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier \fg. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, \:$v_{n+1} - 2v_n = 1$. \item En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux. \item En déduire, pour tout entier $n \geqslant 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $2^4 \equiv 1\:\: [5]$. \item En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$. \item Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier naturel $n$ ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points A$(- 1~;~2~;~0)$, B(1~;~2~;~4) et C$(-1~;~1~;~1)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$. \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$, arrondie au degré. \end{enumerate} \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\- 1\\- 1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $3x + y - 2z + 3 = 0$ et $\mathcal{P}_2$ le plan passant par O et parallèle au plan d'équation $x - 2z + 6 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}_2$ a pour équation $x = 2z$. \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. \item Soit la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}2t\\ y &=& - 4t - 3,\\ z &=& \phantom{- 4}t \end{array}\right.\: t \in \R.\] Démontrer que $\mathcal{D}$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. \end{enumerate} \item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE de l'exercice 4} \medskip \textbf{Cette annexe n'est pas à rendre.} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=30cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-2,-0.15)(14,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2,-0.15)(14,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(14,0.4) \psline(-2,0.2)(14,0.2) \psline(-2,0.25)(14,0.25) \psline(-2,0.333)(14,0.333) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{14}{x ln x div} \uput[r](1,-0.1){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}