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%%% Tapuscrit : Denis Vergès 
%%% dernière mise à jour : novembre 2017
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\lfoot{\small{Antilles  - Guyane}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ 
\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009~\decofourright
}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.

\smallskip

On dispose de deux dés tétraédriques identiques: les quatre faces sont numérotées A, B, C et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lance les deux dés simultanément et on note la  lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.

\smallskip

Déterminer la probabilité des évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $E_{0}$ : \og ne pas obtenir la lettre A~\fg,
\item $E_{1}$ : \og  obtenir une fois la lettre A~\fg,
\item $E_{2}$ : \og  obtenir deux fois la lettre A~\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item On organise un jeu de la façon suivante:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Le joueur lance les deux dés simultanément.
\item Si les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg, le jeu s'arrête.
\item Si un seul dé repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance l'autre dé et le jeu s'arrête.
\item Si aucun dé ne repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance les deux dés et le jeu s'arrête.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{c@{\qquad\qquad}c@{\qquad\qquad}c}
%&Nombre de  &Nombre de \\
%& faces \og A~\fg &  faces \og A~\fg\\[5ex]
%&\rnode{b}{0}&
%\begin{tabular}{c}
%\rnode{e}{$0$}\\[2ex]
%\rnode{f}{$1$}\\[2ex]
%\rnode{g}{$2$}\\[2ex]
%\end{tabular}
%\\
%\rnode{a}{}&\rnode{c}{1}&
%\begin{tabular}{c}
%\rnode{h}{$0$}\\[2ex]
%\rnode{i}{$1$}\\[4ex]
%\end{tabular}\\
%&\rnode{d}{2}&\\[5ex]
%&1\up{er} lancer&2\up{e} lancer 
%\end{tabular}
%\ncline[nodesepB=3pt]{a}{b}
%\ncline[nodesepB=3pt]{a}{c}
%\ncline[nodesepB=3pt]{a}{d}
%\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{e}
%\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{f}
%\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{g}
%\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{h}
%\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{i}
%\end{center}

\begin{center}
\hspace*{2.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} } \hspace{1.5cm} \shortstack{Nombre de\\faces \og A \fg{} }

\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=7mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$0$}}
	                        {\TR{$0$}
			                 \TR{$1$}
			                 \TR{$2$}}
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$1$}}
	                        {\TR{$0$}
	                         \TR{$1$}}
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$2$}}
	                        {$\phantom{\TR{0}}$}	                        
      }
\medskip

\hspace*{2.5cm} 1\ier{} lancer \hspace{1.5cm} 2\ieme{} lancer
\end{center}
 
		\item Le joueur gagne si, lorsque le jeu s'arrête, les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg.

Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de $\dfrac{49}{256}$.
		\item Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S'il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s'arrête, un seul dé repose sur la face \og A~\fg, il est remboursé. Sinon, il perd sa mise.

Le jeu est-il favorable au joueur?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = (1 + \text{i}\sqrt{3})z + 2\sqrt{3}.\]

On note $A$ le point d'affixe $2\text{i}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2.
\end{tabular}

\item 
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$1991^{2009}\equiv 2~(7)$.
\end{tabular}
\item $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux.

\medskip
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na \equiv nb~(p)$.
\end{tabular}

\item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

$\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient l'équation:
$z = x^2 + y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'équation $y=3$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$\mathscr{S}$ est un cercle.
\end{tabular}

\item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

$\mathscr{P}$ est la surface d'équation $x^2 +y^2 = 3z^2$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
O le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(y\text{O}z)$ à coordonnées entières.
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

Soit le point A d'affixe 3,  le point B d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points M d'affixe $z$ tels que $\left\vert z - 3\right\vert=\left\vert z+4\text{i}\right\vert$.

\medskip
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment [AB].
\end{tabular}

\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
A appartient au cercle de diamètre [BC].
\end{tabular}

\item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac\pi7}$.

\medskip
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$z^{2009}$ est un nombre réel positif.
\end{tabular}

\item On considère trois points A, B et C non alignés de l'espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points M vérifiant $\left\vert\left\vert \vect{\text{MA}}+\vect{\text{MB}}+\vect{\text{MC}}\right\vert\right\vert=6$.

\medskip
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$\mathscr{F}$ est la sphère de centre de G et de rayon 2.
\end{tabular}

\item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

$\mathscr{S}$ est la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 5$.

$\mathscr{P}$ est le plan d'équation $x + y - 5 = 0$.

\medskip
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
Le plan $\mathscr{P}$ coupe la sphère $\mathscr{S}$ suivant un cercle.
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A.}

\medskip

La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.

$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:

\[f'(t) + \dfrac12f(t)=10.\]

La température est exprimée en degrés Celsius (\degres C) et le temps $t$ en heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220~\degres~C.
\item On pourra admettre désormais que la fonction $f$ est définie sur $\R^+$ par
 
\[f(t) = 200\,\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\]

On note $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal; les  unités graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

En déduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
		\item  Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~7]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50\degres~C. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B.}

\medskip

On considère la suite de terme général $d_{n} = f(n)-f(n + 1)$ où $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ représente l'abaissement de température de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer des valeurs approchées au dixième de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$.
		\item Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5\degres~C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :

\[u_{n} = \left(1+\dfrac1n\right)^n.\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x -\ln (1 + x).\]

	\begin{enumerate}
		\item En étudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\ln (1 + x)\leqslant x$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$  non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $v_{n} = \ln \left(u_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$.
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$~? Aucune justification n'est demandée.
		
Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_{n}$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}