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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{7 mars 2014}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]7 mars 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
\textbf{Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\\ 
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}\index{Q. C. M.}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $z$ un nombre complexe de la forme $x + \text{i}y$, où $x$ et $y$ sont des réels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $z$ le nombre complexe d'affixe $(1 + \text{i})^4$. L'écriture exponentielle de $z$ est :\index{complexes} 
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}$
		\item $4\text{e}^{\text{i}\pi}$ 
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$
	\end{enumerate} 
\item L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z = x + \text{i}y$ tels que $|z - 1 + \text{i}| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right|$ a pour équation : 
	\begin{enumerate}
		\item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$ 
		\item $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ 
		\item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$ 
		\item $y = x +  \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite de nombres complexes $\left(Z_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $Z_{0} = 1 + \text{i}$ et $Z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}Z_{n}$. On note $M_{n}$ le point du plan d'affixe $Z_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$M_{n}M_{n + 1}$ est équilatéral. 
		\item La suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$  est convergente. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, un argument de $\frac{Z_{n+1} - Z_{n}}{Z_{n}}$  est $\frac{\pi}{2}$. 
		\end{enumerate} 
\item Soit A, B, C trois points du plan complexe d'affixes respectives : 

\[Z_{\text{A}}= - 1 - \text{i} \quad ;\quad  Z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\quad  \text{et}\quad  Z_{\text{C}} = 1 + 5\text{i}.\]

On pose $Z = \dfrac{Z_{\text{C}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item $Z$ est un nombre réel. 
		\item Le triangle ABC est isocèle en A. 
		\item Le triangle ABC est rectangle en A. 
		\item Le point $M$ d'affixe $Z$ appartient à la médiatrice du segment [BC].
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{1.5cm}|X}
&Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0~;~ 1[, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \leqslant X \leqslant \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.
\end{tabularx} 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

\[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\]
 
Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ? 
\item Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,\: H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. 
\item En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Démontrer alors le théorème énoncé. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
 
60\,\% des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6\,\% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.
 
Dans le stock total du laboratoire, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :\index{probabilité}

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise A \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise B \fg{} ; 
\item[ ] $D$ l'évènement : \og La pipette a un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A ? 
\item Montrer que $p(B \cap D) = \np{0,0224}$. 
\item Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102~mL.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = \np{1,0424}$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Contenance $x$ (en mL)& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline 
$P(X~\leqslant~x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&\np{0,00000} &\np{0,00004} &\np{0,00165} &\np{0,02506} &\np{0,16368}\\ \hline\hline 
Contenance $x$ (en mL)&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline
$P(X~\leqslant~x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&0,5 &\np{0,83632} &\np{0,97494} &\np{0,99835} 
&\np{0,99996}\\ \hline  
\end{tabularx}
\end{center}
 
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. 
\item On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un  entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
 
Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ? \index{loi binomiale}
		\item Vérifier que $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$. 
		\item Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par 

\[f(x) = x\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
 Montrer que 
 
 $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
\item Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.\index{intégrale et aire}
 
On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 

\begin{center}
\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(3.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-0.4)(3.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
\psframe[fillstyle=hlines](1,0)(1.25,0.279)
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe[fillstyle=hlines](1.75,0)(2,1.386)
\psframe[fillstyle=vlines](1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe[fillstyle=vlines](1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe[fillstyle=vlines](1.75,0)(2,0.979)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Algorithme :}\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $V$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $n$ prend la valeur 4\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $V$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
		\item Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 
		\item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{l c l}
U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\
 V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
\end{array}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
  
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
		\item Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.\index{primitive} 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.\index{géométrie dans l'espace}
 
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].
 
On note Q le point défini par $\vect{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(13,7)
%\psgrid
\psframe(10.3,3.5)%BCGF
\psline(10.3,0)(12,2.1)(12,6.1)(10.3,3.5)%CDHG
\psline(12,6.1)(1.7,6.1)(0,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,2.1)(1.7,6.1)%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(12,2.1)%AD
\uput[l](1.7,2.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.3,0){C} 
\uput[r](12,2.1){D} \uput[ul](1.7,6.1){E} \uput[l](0,3.5){F} 
\uput[dr](10.3,3.5){G} \uput[ur](12,6.1){H} \uput[ul](11.15,1.05){I} 
\uput[ul](0.85,4.8){J} \uput[ul](0.85,1.05){P}\uput[u](5.11,2.1){Q}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(0.85,1.05)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(5.11,2.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(1.7,6.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0.85,1.05)(5.11,2.1)(0.85,4.8)(11.15,1.05) 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

On appelle \textbf{plan médiateur d'un segment} le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 

L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. 
\item Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur\index{equation de plan@équation de plan} 
$\left(P_{1}\right)$ du segment [AB]. 
\item Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. 

Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. 
		\item Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \index{equation paramétrique@équation paramétrique}
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& \phantom{3t -1}1\\ 
y &=& \phantom{3}t\phantom{- 1}\\
z &=& 3t - 4
\end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{ décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\]
  
		\item Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I. 
		\item Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}