\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{bclogo} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{empty} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright \\10 juin 2016}}\end{center} \subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}} Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. une absence de réponse n'est pas pénalisée. \begin{enumerate} \item Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production. On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d'espérance $200$ et d'écart-type $10$. \bigskip \textbf{Affirmation 1} La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à $187$~g est supérieure à $0,9$. \smallskip \item \textbf{Affirmation 2} L'équation $x-\cos x=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \bigskip \emph{Dans les questions 3. et 4., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ qui admettent pour représentations paramétriques respectives :} \[\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=\phantom{1 +}4t\end{cases},\: t\in\mathbb{R}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\begin{cases}x=-5t'+3\\y=\phantom{-}2t'\\z=\phantom{-5}t'+4\end{cases},\: t' \in \mathbb{R}\] \item \textbf{Affirmation 3} Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes. \item \textbf{Affirmation 4} La droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan d'équation $x+2y+z-3=0$. \end{enumerate} \subsection{\hfill \textcolor{blue}{(6 points)}} \parbox{0.48\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$, continue et positive sur cet intervalle, et $a$ une réel tel que $0}(0,0)(-0.2,-0.5)(1.5,1.1) \pscurve(0.,0.4)(0.07,0.4)(0.2,0.6)(0.3,0.5)(0.49,0.68)(0.6,0.8)(0.75,0.85)(1.,1.) \psline[linestyle=dashed](0.4,0)(0.4,0.57) \psline(1,0)(1,1) \uput[u](0.2,0.2){$\mathscr{A}_1$} \uput[u](0.7,0.2){$\mathscr{A}_2$} \uput[d](0.4,0){$a$} \uput[u](0.49,0.68){$\mathscr{C}$} \uput[u](1.3,0){$x$} \end{pspicture*}} \bigskip Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions $f$, une valeur du réel $a$ vérifiant la condition (E) : \og{}les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$ sont égales\fg{}. On admet l'existence d'un tel réel $a$ pour chacune des fonctions considérées. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de quelques exemples} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel $a$ et déterminer sa valeur. \begin{enumerate} \item $f$ est une fonction constante strictement positive. \item $f$ est définie sur $[0~;~1]$ par $f(x)=x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$. \item On note $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. Démontrer que si le réel $a$ satisfait la condition (E), alors $F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$. La réciproque est-elle vraie ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières. \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}$. Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel $a$ et donner sa valeur. \item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left[0~;~1\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$. Vérifier que la valeur $a=\dfrac{2}{5}$ convient. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée de $a$} \bigskip Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=4-3x^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E), alors $a$ est solution de l'équation : \[x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.\] Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l'intervalle $[0~;~1]$. On note $a$ cette solution. \item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $g(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$. \item Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. À l'aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est $a$. \item On admet que le réel $a$ vérifie l'inégalité $0< a-u_{10}<10^{-9}$. Calculer $u_{10}$ à $10^{-8}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}} Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne. \bigskip \emph{Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage} \bigskip On admet dans cette partie que la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6. \begin{enumerate} \item L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse. \item Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ? \[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\] \end{enumerate} \item Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population} \bigskip Dans cette partie, on suppose que $n$ personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29\:\% sont favorables au projet d'aménagement. \medskip \begin{enumerate} \item Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale. \item Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Correction due à l'insincérité de certaines réponses} \medskip Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29\:\% affirment qu'elles sont favorables au projet. L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut : \begin{itemize} \item soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. \item soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère. \end{itemize} Par expérience, l'institut estime à 15\:\% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d'un modèle probabiliste. On prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $F$ l'évènement \og{}la personne est en réalité favorable au projet\fg{} ; \item[$\bullet$] $\overline{F}$ l'évènement \og{}la personne est en réalité défavorable au projet\fg{} ; \item[$\bullet$] $A$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est favorable au projet\fg{}; \item[$\bullet$] $\overline{A}$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est défavorable au projet\fg{}. \end{itemize} Ainsi, d'après les données, on a $p(A) = 0,29$. \begin{enumerate} \item En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$. \item \parbox{8cm}{On pose $x = P(F)$. \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre. \item En déduire une égalité vérifiée par $x$ \end{enumerate}}\hfill\parbox{8cm}{%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=2.5mm,levelsep=25mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\TR{$F$}\taput{ $x$}} { \TR{$A$}\taput{ $$} \TR{$\overline{A}$}\tbput{ $$} } \pstree {\TR{$\overline{F}$}\tbput{$1 - x$}} { \TR{$A$}\taput{$$} \TR{$\overline{A}$}\tbput{$$} } } } \medskip \item Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}} \textbf{Candidat/e/s n'ayant pas choisi la spécialité mathématique} \medskip On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale. On s'intéresse à l'aire délimitée par cette ligne. \bigskip On munit le plan d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier $k$ allant de 0 à $n$, on définit les nombres complexes $z_k=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}}$ et on note $M_k$ le point d'affixe $z_k$. Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points $M_k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$. Par exemple, pour les entiers $n=6$, $n=10$ et $n=20$, on obtient les figures ci-dessous. \begin{tabular}{ccc} $n=6$&$n=10$&$n=20$\\ \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-4.)(9.,4.) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.583333333333,1.01036297108)(-0.666666666667,1.15470053838)(-1.5,0.)(-0.833333333333,-1.44337567297)(0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.) \psline(0,0)(1.,0.) \psline(0,0)(0.583333333333,1.01036297108) \psline(0,0)(-0.666666666667,1.15470053838) \psline(0,0)(-1.5,0.) \psline(0,0)(-0.833333333333,-1.44337567297) (0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.) \end{pspicture*}& \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.889918693812,0.646563777522)(0.37082039325,1.14126781955)(-0.401722092687,1.23637347118)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.5,0.)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.) \psline(0,0)(1.,0.) \psline(0,0)(0.889918693812,0.646563777522) \psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955) \psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118) \psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209) \psline(0,0)(-1.5,0.) \psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668) \psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777) \psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933) \psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.) \end{pspicture*} & \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0843681228688682cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1,0)(0.99860934211,0.324467844094)(0.889918693812,0.646563777522)(0.675953040136,0.930369543531)(0.37082039325,1.14126781955)(0,1.25)(-0.401722092687,1.23637347118)(-0.793510090595,1.09217294241)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.37903194863,0.448074641844)(-1.5,0)(-1.47413760026,-0.478976341281)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.969845666283,-1.33487804072)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0,-1.75)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.08740271674,-1.49668143959)(1.53713228931,-1.11679197936)(1.85456020678,-0.602583139032)(2,0) \psline(0,0)(1,0) \psline(0,0)(0.99860934211,0.324467844094) \psline(0.889918693812,0.646563777522) \psline(0,0)(0.675953040136,0.930369543531) \psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955) \psline(0,0)(0,1.25) \psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118) \psline(0,0)(-0.793510090595,1.09217294241) \psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209) \psline(0,0)(-1.37903194863,0.448074641844) \psline(0,0)(-1.5,0) \psline(0,0)(-1.47413760026,-0.478976341281) \psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668) \psline(0,0)(-0.969845666283,-1.33487804072) \psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777) \psline(0,0)(0,-1.75) \psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933) \psline(0,0)(1.08740271674,-1.49668143959) \psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936) \psline(0,0)(1.85456020678,-0.602583139032) \psline(0,0)(2,0) \psline(0,0) %\multido{\n=0.00+0.05,\na=\n+1,\nb=0+18}{20}{\psline[linecolor=red](\na;\nb)} \end{pspicture*}\\ \end{tabular} \bigskip \textbf{Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points} \bigskip Dans cette partie, on suppose que $n=6$. Ainsi, pour $0\leqslant k\leqslant 6$, on a $z_k=\left(1+\dfrac{k}{6}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme algébrique de $z_1$. \item Vérifier que $z_0$ et $z_6$ sont des entiers que l'on déterminera. \item Calculer la longueur de la hauteur issue de $M_1$ dans le triangle $OM_0M_1$ puis établir que l'aire de ce triangle est égale à $\dfrac{7\sqrt{3}}{24}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Ligne brisée formée à partir de \boldmath$n+1$\unboldmath\: points} Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. \begin{enumerate} \item Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$, déterminer la longueur $OM_k$. \item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, déterminer une mesure des angles $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OM_k}\right)$ et $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OM_k}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$. \item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, démontrer que la longueur de la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans le triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\times \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$. \item On admet que l'aire du triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $a_k=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$ et que l'aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à $A_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_{n-1}$. L'algorithme suivant permet de calculer l'aire $A_n$ lorsqu'on entre l'entier $n$ : \begin{center} \fbox{\begin{tabular}{ll} VARIABLES&$A$ est un nombre réel\\ &$k$ est un entier\\ &$n$ est un entier\\ TRAITEMENT&Lire la valeur de $n$\\ &$A$ prend la valeur 0\\ &Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$\\ &\hspace{0,5cm} $A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\ &Fin Pour\\ SORTIE&Afficher $A$ \end{tabular}} \end{center} On entre dans l'algorithme $n=10$ Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l'algorithme. \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $k$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\\hline $A$&0,323 &0,711 &1,170 &1,705 &2,322 &3,027 &3,826 &4,726 & &\\\hline \end{tabularx} \item On admet que $A_2=0$ et que la suite $\left(A_n\right)$ converge et que $\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=\dfrac{7\pi}{3}\approx 7,3$. Recopier et compléter les lignes $L6$ et $L13$ de l'algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n\geqslant 7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$. \medskip \begin{center} \fbox{\begin{tabular}{lll} $L1$&VARIABLES :&$A$ est un nombre réel\\ $L2$&&$k$ est un entier\\ $L3$&&$n$ est un entier\\ $L4$&TRAITEMENT :&$n$ prend la valeur 2\\ $L5$&&$A$ prend la valeur 0\\ $\textbf{L6}$&&\textbf{Tant que}\dots\dots\dots\dots\\ $L7$&&\hspace{0,8cm}$n$ prend la valeur $n+1$\\ $L8$&&\hspace{0,8cm}$A$ prend la valeur 0\\ $L9$&&\hspace{0,8cm}Pour $k$ allant de 0 à $n-1$\\ $L10$&&\hspace{1.6cm}$A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\ &&\hspace{0,8cm}Fin Pour\\ $L12$&&Fin Tant que\\ $\textbf{L13}$&\textbf{SORTIE :}&\textbf{Afficher} \dots\\ \end{tabular}} \end{center} \end{enumerate} \label{fin} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}} \textbf{Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématique} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice $A$, connue uniquement de l'émetteur et du destinataire. Dans tout l'exercice, on note $A$ la matrice définie par : $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$. \bigskip \textbf{Partie A -- Chiffrement de Hill} \medskip Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline Étape 1&On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.\\ \hline Étape 2&On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers $x_1$ et $x_2$ tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant : \begin{tabular}{|*{13}{c|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabular} \\ \hline Étape 3& On transforme la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ vérifiant $Y = A X$.\\ \hline Étape 4&On transforme la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$, où $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ celui de la division euclidienne de $y_2$ par 26.\\ \hline Étape 5&On associe aux entiers $r_1$ et $r_2$ les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question :} utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot \og HILL \fg. \bigskip \textbf{Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $a$ un entier relatif premier avec 26. Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $u \times a \equiv 1 \:\text{modulo}\: 26$. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline VARIABLES : &$a, u$, et $r$ sont des nombres ($a$ est naturel et premier avec 26)\\ TRAITEMENT :&Lire $a$\\ &$u$ prend la valeur 0, et $r$ prend la valeur 0\\ &Tant que $r \ne 1$\\ &\hspace{0,8cm}$u$ prend la valeur $u + 1$\\ &$\hspace{0,8cm}r$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $u \times a$ par 26 \\ &Fin du Tant que\\ SORTIE &Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On entre la valeur $a = 21$ dans cet algorithme. \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline $u$&0&1&2&\ldots\\ \hline $r$&0&21&\ldots&\ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En déduire que $5 \times 21 \equiv 1 \:\:\text{modulo}\:\: 26$. \end{enumerate} \item On rappelle que $A$ est la matrice $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$ et on note $I$ la matrice : $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer la matrice $12A - A^2$. \item En déduire la matrice $B$ telle que $BA = 21I$. \item Démontrer que si $A X = Y$, alors $21 X = B Y$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Déchiffrement} \medskip On veut déchiffrer le mot VLUP. On note $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ la matrice définie par l'égalité : $Y = A X = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}X$. Si $r_1$ et $r_2$ sont les restes respectifs de $y_1$ et $y_2$ dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 21x_1 &=& \phantom{-}7y_1 - 2y_2\\ 21x_2 &=&- 7y_1 + 5 y_2 \end{array}\right.$ \item En utilisant la question B .2., établir que: $\left\{\begin{array}{l c l r} x_1 &\equiv&9r_1 + 16r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26\\ x_2 &\equiv&17r_1 + 25r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26 \end{array}\right.$ \item Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices $\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \end{document}