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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 5 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0.5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 5 juin 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-contre.

Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DH}}\right)$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8,8)
%\psgrid
\psline(0.5,0.8)(5.3,0.3)(7.4,1.4)(7.4,6.7)(5.3,5.6)(5.3,0.3)%ABCGFB
\psdots(0.5,0.8)(5.3,0.3)(7.4,1.4)(2.6,1.9)(7.4,6.7)(5.3,5.6)(0.5,6.1)(2.6,7.2)(3.95,3.75)
%(4.3,4.05)
\psline(5.3,5.6)(0.5,6.1)(0.5,0.8)%FEA
\psline(7.4,6.7)(2.6,7.2)(0.5,6.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.6,1.9)(2.6,7.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(7.4,1.4)%DC
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(5.3,5.6)%DMF
\uput[l](0.5,0.8){A} \uput[d](5.3,0.3){B} \uput[r](7.4,1.4){C} 
\uput[ul](2.6,1.9){D} \uput[ul](0.5,6.1){E} \uput[u](5.3,5.6){F} 
\uput[ur](7.4,6.7){G} \uput[u](2.6,7.2){H} \uput[dr](3.95,3.75){$M$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{DF}}$ est normal au plan (EBG).
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
\item En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], on associe le point $M$ du segment [DF] tel que 
$\vect{\text{D}M} = x\vect{\text{DF}}$. 

On s'intéresse à l'évolution de la mesure $\theta$ en radian de l'angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment [DF]. On a $0 \leqslant  \theta \leqslant \pi$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point D ? avec le point F ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x~;~x~;~x)$.

		\item Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}$. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des
vecteurs $\vect{M\text{E}}$ et $\vect{M\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction 
	
	\[f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.\]
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.6)
%\psgrid	
\psframe(9.5,3.6)	\psline(0,3)(9.5,3)\psline(2,0)(2,3.6)
\uput[u](1,2.9){$x$} \uput[u](2.1,2.9){$0$} \uput[u](4.5,2.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](7,2.9){$\frac{2}{3}$} \uput[u](9.4,2.9){$1$} 
\rput(1,1.75){Variations}
\rput(1,1.25){de $f$}
\uput[d](2.1,3){$\frac{1}{2}$}\rput(4.5,1.5){$0$}\uput[u](7,0){$- \frac{1}{2}$}\uput[d](9.4,3){$0$}
\psline{->}(2.4,2.6)(4.2,1.65)\psline{->}(4.8,1.3)(6.6,0.4)
\psline{->}(7.4,0.4)(9.2,2.65)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour quelles positions du point $M$ sur le segment [DF] :
	\begin{enumerate}
		\item le triangle $M$EB est-il rectangle en $M$ ?
		\item l'angle $\theta$ est-il maximal ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A}, {\rm B}, et {\rm C} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain}

\medskip

On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée d'attente en minute 	&[0~;~2[ 	&[2~;~4[ 	&[4~;~6[ 	&[6~;~8[\\ \hline
Nombre de voitures			& 75 		&19 		&10 		&5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
\item  On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$~min.
		\item  Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
		\item  Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain}

\medskip

Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$~min et d'écart-type $\sigma = 30$~min.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?
		\item Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
		\item À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99\,\% des voitures ?
	\end{enumerate}
\item La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Durée de stationnement& Inférieure à 15 min &Entre 15 min et 1 h &Heure supplémentaire\\ \hline
Tarif en euros &Gratuit &3,5 &$t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$~euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville}

\medskip

La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T'$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. 

On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$~minutes et que 75\,\% des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$~minutes.

Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95\,\% des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$~minutes. Cet objectif est-il atteint ?
\vspace{0,5cm}



\textbf{Exercice 3 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par :

\[f_k(x) = x + k\text{e}^{- x}.\]

On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,0)(9,9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  0.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  1 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  1.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  2 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  2.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  3 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  3.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  4 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  4.5 2.71828 x exp div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{9}{x  5 2.71828 x exp div add}
\psdots(-0.693,0.307)(0,1)(0.405,1.405)(0.693,1.693)(0.916,1.916)(1.1,2.1)(1.25,2.25)(1.39,2.39)(1.5,2.5)(1.61,2.61)
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour
tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.

Est-ce le cas ?

\newpage

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$~ans.

L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa}

\medskip

Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$~ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$~m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1[ par :

\[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] 

où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.
\item Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$~ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$~ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\scriptsize}m{2.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
	&A 						&B 		&C 		&D 		&E 		&F		&G 		&H 	&I		&J		&K 		&L		&M\\ \hline
1	&Âges (en années)		&50 	&70 	&80 	&85 	&90 	&95 	&100&105 	&110 	&120 	&130 	&150\\ \hline
2	&Hauteurs (en mètres) 	&11,2 	&15,6 	&18,05 	&19,3 	&20,55 	&21,8 	&23 		&24,2 	&25,4 	&27,6 	&29,65 &33\\ \hline
3	&Vitesse de croissance (en 
mètres par année)			&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
		\item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$~m du sol vaut $27$~cm.
\item La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
		\item Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$~cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un numéro de carte bancaire est de la forme:

\[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\]

où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.

Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.

$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.

L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{r X}
\textbf{Initialisation} :& $I$ prend la valeur $0$\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
$P$ prend la valeur $0$\\
$R$ prend la valeur $0$\\
\end{tabular}\\
\textbf{Traitement} : &Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :\\
&$R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9\\
&$I$ prend la valeur $I + R$\\
&Fin Pour\\
&Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
$P$ prend la valeur $P + a_{2k}$\\
\end{tabular}\\
&Fin Pour\\
&$S$ prend la valeur $I + P + c$\\
\textbf{Sortie} : &Si $S$ est un multiple de 10 alors :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
Afficher \og Le numéro de la carte est correct. \fg\\
\end{tabular}\\
&Sinon :\\
&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
Afficher \og Le numéro de la carte n'est pas correct. \fg\\
\end{tabular}\\
&Fin Si\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère le numéro de carte suivant: 5635\: 4002\:9561\:3411.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$.
		\item Justifier que le numéro de la carte 5635\: 4002\:9561\:3411 est correct.
		\item On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. 
		
Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 

6$a$35\:4002\:9561\:3411 reste correct ?
	\end{enumerate}
\item On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire.
	
Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
\item Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
\item On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.

On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1.
	
Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe}

\bigskip

\emph{À rendre avec la copie}

\begin{center}

\textbf{Exercice 4 -- Question 1. a.}

\textbf{Candidats ayant sui l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$2a_{2k+1}$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$R$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$I$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}