%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} %\usepackage{enumerate} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\thesubsection}{{\textsc{Exercice} \arabic{subsection}}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole - 13 septembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{13 septembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018~\decofourright }}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er}~janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. \smallskip Au 1\up{er} janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1\up{er} janvier 2010, 64\,\% des ménages l'étaient. \smallskip Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\] où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$. \item Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99\,\% des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1\up{er} janvier 2018. \item Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur \np{1000} foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra pour unité graphique le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$. \item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon. \item Faire une figure et placer les points A et B. \item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$. \end{enumerate} \item On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange. \item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OF}}\right)$. \item Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique. \item En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\] \end{enumerate} \item Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\] et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\] Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip \emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.\\ \textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Il est attribué $1,5$ point par réponse correcte.\\ Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte.} \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2+ \phantom{3}t\\ y &=& 1 - 3t\\ z &=& \phantom{2 +} 2t \end{array}\right. (t \in \R)$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$. \medskip On peut affirmer que : \medskip \textbf{Réponse A :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles. \textbf{Réponse B :} la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$. \textbf{Réponse C :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4~;~-5~;~4)$. \textbf{Réponse D :} la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux. \bigskip \bigskip \textbf{Question 2} \medskip Dans le rayon informatique d'une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux. On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d'attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le temps d'attente moyen est de $20$ minutes. Sachant qu'un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{Réponse A:~~} $\text{e}^{-\frac{1}{2}}$& \textbf{Réponse B :~~} $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$\\ \textbf{Réponse C:~~} $1- \text{e}^{-\frac{1}{2}}$ &\textbf{Réponse D :~~} $1 - \text{e}^{-10\lambda}$ \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d'une balle doit être compris entre $63,5$~mm et $66,7$~mm. On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres. On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d'écart type $\sigma$. On appelle $P$ la probabilité qu'une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme. L'usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième, permettant d'atteindre cet objectif est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X} \textbf{Réponse A:~~} 0,69 &\textbf{Réponse B:~~} 2,58 &\textbf{Réponse C:~~} 0,62 &\textbf{Réponse D:~~} 0,80 \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie par : \[f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}.\] \begin{center} \psset{unit=3cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.15)(2.8,2.2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.8,2.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1.2,0)(1.2,2.2)\uput[d](1.2,0){$a$} \pscustom[fillstyle=hlines] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{4 x mul x dup mul 1 add div} \psline(2,0)(0,0) } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.8}{4 x mul x dup mul 1 add div} \end{pspicture} \end{center} La valeur exacte du réel positif $a$ tel que la droite d'équation $x = a$ partage le domaine hachuré en deux domaines d'aires égales est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X} \textbf{Réponse A :~~} $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$ &\textbf{Réponse B :~~} $\sqrt{\sqrt{5} - 1}$ &\textbf{Réponse C :~~} $\ln 5 - 0,5$ &\textbf{Réponse D :~~} $\dfrac{10}{9}$ \end{tabularx} \medskip \newpage \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\] Soit $a$ un réel positif. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \smallskip Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$. \item Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$. \begin{enumerate} \item En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$. \item Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 2,9$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \item Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \begin{enumerate} \item À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée. \item En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \item L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$. Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline $P \gets 0$\\ $U \ldots\ldots$\\ ~\\ Tant que \ldots\\ \hspace{0.6cm}$P \gets \ldots\ldots$\\ \hspace{0.6cm}$U \gets \ldots\ldots$\\ Fin Tant que\\ ~\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} \smallskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_2$ et $u_3$ . \item On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$. \item On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \smallskip On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$. \item On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline $S \gets 0$\\ ~\\ Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\ $P \gets 2^{N+1} - 1$\\ $U \gets 2^N P$\\ ~\\ Pour $K$ variant de $1$ à $U$\\ \hspace{0.6cm}Si $\frac{U}{K}$ est un nombre entier\\ \hspace{1.1cm}$S \gets S + K$\\ \hspace{0.6cm}Fin Si\\ Fin Pour\\ ~\\ Si $S = 2U$\\ \hspace{0.6cm}Afficher \og oui \fg\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}Afficher \og non \fg\\ Fin Si\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme. \item Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche \og oui \fg. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$. \item En déduire que $u_n$ est un nombre parfait. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à remettre avec la copie} \vspace{3cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{1cm} \textbf{Affichage de l'algorithme pour les premières valeurs de $N$} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $N$ &$P$ &$U$ &$S$ &Affichage final\\ \hline 0 &1 &1 &1 &non\\ \hline 1 &3 &6 &12 &oui\\ \hline 2 &7 & & &\\ \hline 3 &15 & &360 &\\ \hline 4 &31 & &992 & oui\\ \hline 5 &63 & &\np{6552} & non\\ \hline 6 &127 &\np{8128} &\np{16256} &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}