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%Tapuscrit : F. PUCCI & François Hache 
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pdftitle = {Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna~\decofourright}}

%\begin{center}{\Large\textbf{\begin{minipage}{\linewidth} \centering \decofourleft~Baccalauréat S {\Large Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna~\decofourright}\\ \end{minipage}}}

\bigskip

\textbf{28 novembre 2017}

\end{center}

%\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
\textbf{Exercice 1} (4 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

\medskip

Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.

\medskip

\textbf{Partie A : En utilisant le bus}

On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_B$ qui suit la loi uniforme sur $[12~;~15]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $\dfrac23$.
\item Donner la durée moyenne du trajet.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : En utilisant son vélo}

\medskip

On suppose à présent que Sofia choisit d'utiliser son vélo.

La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_v$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 14$ et d'écart-type $\sigma=1,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Sofia mette moins de $14$ minutes pour se rendre au cinéma ?
 Quelle est la probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : En jouant aux dés}

\medskip

Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à $6$ faces.

Si elle obtient $1$ ou $2$, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo.
On note :
\begin{itemize}
\item $B$ l'évènement \og Sofia prend le bus \fg{} ;
\item $V$ l'évènement \og Sofia prend son vélo \fg{} ;
\item $C$ l'évènement \og Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $0,49$.
\item Sachant que Sofia a mis entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'elle ait emprunté le bus ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 2} (5 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\big(\ln x\big)^2}x.$$

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, 

\[f(x)=4\left(\dfrac{\ln\big(\sqrt x\big)}{\sqrt x}\right)^2.\]

\item En déduire que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+ \infty$.
\end{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, 

\[f'(x)=\dfrac{\ln(x)\big(2-\ln(x)\big)}{x^2}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
\item Calculer $f(1)$ et $f\big(\e^2\big)$.
\end{enumerate}

On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.

%\begin{center}
%\scalebox{.8}{\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=3]{$x$ /1,  $f$ /2}%
%{$0$ ,$1$ , $\e^2$, $+\infty$}%
%\tkzTabVar{D+/$+\infty$, -/ $0$, +/$\dfrac4{\e^2}$, -/$0$}
%\end{tikzpicture}}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l*5{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 1 & \esp & \e^{2} & \esp & +\infty \\
\hline
  & \vline\:\vline~\Rnode{max1}{+\infty} & &  & & \Rnode{max2}{\dfrac{4\rule{0pt}{10pt}}{\e^{2}}} & & \\
f (x) &\vline\:\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\:\vline & & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2}
%\rput*(-7,0.95){\Rnode{zero}{\red 1}}
%\rput(-7,2.65){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 3} (3 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par 

\[f(x) = 2\e^x-\e^{2x}\]

et $\mathcal C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

On admet que, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~\ln(2)]$, $f(x)$ est positif.

Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\textbf{Proposition A :}

\medskip

L'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x=0$ et $x = \ln (2)$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal C$ est égale à $1$ unité d'aire.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier strictement positif.

Soit la fonction $f_n$ définie sur l'ensemble des nombres réels par $$f_n(x) = 2n\e^x-\e^{2x}$$ et $\mathcal C_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

On admet que $f_n$ est dérivable et que $\mathcal C_n$ admet une tangente horizontale en un unique point $S_n$. 

Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\textbf{Proposition B :}

\medskip

Pour tout entier strictement positif $n$, l'ordonnée du point $S_n$ est $n^2$.

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 4} (3 points)

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\end{center}

\textbf{Les questions 1. et  2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.}

\medskip

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.\]

On se place dans le plan complexe d'origine O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
\item Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés. 
\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 5} (5 points)

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi  l'enseignement de spécialité}
\end{center}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\]

Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray!50}\centering\arraybackslash}X|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray!50}	&A 	&B\\ \hline
1 						&$n$&$u_n$\\ \hline
2 						&0 	&3\\ \hline
3 						&1 	&6\\ \hline
4 						&2	&\\ \hline
5 						&3	&\\ \hline
6 						&4	&\\ \hline
7 						&5	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne B.
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de 2 à 5.
\item Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite}

\medskip

On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad  w_n = u_n - 7.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat de la question \textbf{1.~ b.}, montrer par récurrence que, pour tout
entier naturel $n$,\: $u_n < u_{n+1} < 15$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{Exercice 5} (5 points)

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

Dans un territoire donné, on s'intéresse à l'évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies).

Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par :

\[\left\{\begin{array}{rcl}
b_0 	&=&\np{1000}\\
c_0 	&=&\np{1500}\\
b_{n+1} &=&\phantom{-}0,3 b_n + 0,5c_n\\
c_{n+1} &=&- 0,5b_n +1,3c_n
\end{array}\right.\]

où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le $1\up{er}$ juin de l'année $2000 + n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 \\ -0,5 & 1,3\end{pmatrix}$	et, 
pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice 

colonne~$\begin{pmatrix} b_n \\ c_n \end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $U_1 = \begin{pmatrix} \np{1050} \\ \np{1450} \end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = AU_n$.
\end{enumerate}
On donne les matrices $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $T =	\begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

\item On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
		\item On admet que $A = PTQ$.

Démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a 

\[A^n=PT^nQ.\]

		\item Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul,
		
\[T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}.\]

	\end{enumerate}
\item Lucie exécute l'algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N = 40$.

Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|rl|}
\hline 
Initialisation: & $N$ prend la valeur $0$ \\
				& $B$ prend la valeur \np{1000} \\
				& $C$ prend la valeur \np{1500} \\
Traitement :	& Tant que $B > 2$ ou $C > 2$ \\
				& \qquad $N$ prend la valeur $N + 1$\\
				& \qquad $R$ prend la valeur $B$\\
				& \qquad $B$ prend la valeur $\phantom{-}0,3R + 0,5C$\\
				& \qquad $C$ prend la valeur $- 0,5R + 1,3C$\\
				& Fin Tant Que \\
Sortie :		& Afficher $N$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a 

\[U_n = \begin{pmatrix} \np{1000} \times 0,8^n +\dfrac{625}2n \times 0,8^n \\[.4cm] \np{1500} \times 0,8^n + \dfrac{625}2n \times 0,8^n \end{pmatrix} \]

et 

\[n \leqslant 10 \times 1,1^n.\]

	\begin{enumerate}
		\item En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
		\item Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieure à au moins $50$ individus.

À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l'exercice vous paraît-il cohérent ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}