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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Vice-rectorat de Polynésie
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire)  Polynésie~\decofourright\\5 septembre 2017}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40~m et dont l'âge est compris entre 10 et 70~ans.

Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

\medskip

\emph{On arrondira, si nécessaire, les probabilités à } $10^{-4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$.
		
Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
		\item L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $17$.
		
Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?
		\item Les études menées permettent d'établir que 89\,\% des visiteurs ont la taille exigée, 87\,\% ont l'âge requis mais 8\,\% n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
	\end{enumerate}
\item  Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25\,\% des personnes ont attendu moins de 30~min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95\,\% sont satisfaites de l'attraction.
	
En revanche, 22\,\% des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de
l'attraction.
	
On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
	
On note $A$ l'évènement \og le visiteur a attendu plus de $30$min \fg{} et $S$ l'évènement \og le visiteur est satisfait de l'attraction \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut \np{0,8225}.
		\item Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$~min ?
	\end{enumerate}
\item Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$~personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites.
	
Le directeur peut-il être rassuré ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses.

On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. 

Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que

\[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

\begin{enumerate}
\item Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en
14 semaines.

En déduire la valeur du paramètre $a$.
\item En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$,

\[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\]

La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables.

En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir
détectable au toucher ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\]

où

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
\item[$\bullet~~$] $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Détermination de la clairance

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation 
		
		\[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
		
		\item Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle 
		$]0~;~+\infty[$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Réglage du débit
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
		\item La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$.
		
Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit
être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$.
		
En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, 

\[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\]

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.

On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors 

$\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
\item Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$.

Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation :

\[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]

\item Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\medskip

On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_0		&=&0,3\\
u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

\medskip

\begin{enumerate}\item Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
\item  On admet que, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
	\end{enumerate}
\item  Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction.
	
On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année
\textbf{avant} laquelle il reste au moins $30$~tortues.
	
Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables} : 	&$u$ est un réel\\
						&$n$ est un entier naturel\\
\textbf{Traitement} : 	&$u$ prend la valeur $0,3$\\
						&$n$ prend la valeur $0$\\
						&Tant que \:\ldots\: faire :\\
						&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}\\
						~\\
						~\\
						~\\
						\end{tabular}\\						
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie} : 		&Afficher \:\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite 
$\left(v_n\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
v_{10}	&=&0,032\\
v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
\item On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie :

\[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]

\item  La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?
\end{enumerate}
\end{document}