%%%%Composé par : Francis Cortado CPF Beyrouth-Liban%%% \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {TS Liban}, pdftitle = {27 mai 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{27 mai 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 27 mai 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\ Les probabilités seront arrondies au dix millième.} \smallskip Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus. \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\np{99,4}\,\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas. On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement \og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre de probabilités.\index{probabilités}\index{arbre} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\np{0,0192}$ \item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : le vélo} \medskip On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \np{1,2}$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. \item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée? \item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\np{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : le bus} \medskip Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale} On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\np{0,05}$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$ \medskip \begin{enumerate} \item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ? \item Déterminer une valeur approchée à $\np{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte \medskip \index{Vrai--Faux} On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace} On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=\phantom{-5 +}2t\\ y=\phantom{-}1+t\quad,\quad t\in\R \\ z=-5+3t \end{cases}$ On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$ \medskip \textbf{Proposition 1 :} Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} $\begin{cases} x=\phantom{-}5-2t\\ y=-1+\phantom{2}t\\ z=-2+\phantom{2}t \end{cases},\: t\in\R$ \medskip \textbf{Proposition 2 :} Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales. \bigskip \textbf{Proposition 3 :} Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires. \bigskip \textbf{Proposition 4 :} La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8~;~-3;~-4)$. \bigskip \textbf{Proposition 5 :} Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la façon suivante : pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.\index{aire et intégrale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$. \item On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$ ? \item On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \item Sur le graphique fourni en \textbf{annexe (\emph{à rendre avec la copie})} sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$. Sur le graphique de l'\textbf{annexe}, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$. Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$. \end{enumerate} \item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par \[g(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. \item En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \mbox{une expression de $\mathcal{A}(t)$.} \item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite} \[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\] \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_0$. \item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. \begin{center}\index{algorithme} \fbox{ \begin{tabular}{lcl} \textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\ &&$p$ est un réel\\ && $n$ est un entier\\ \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\ && Affecter à $u$ la valeur 2\\ \textbf{Entrée}&:& Demander la valeur de $p$ \\ \textbf{Traitement}&:&\\ \\ \textbf{Sortie}&:& \\ \end{tabular} } \end{center} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la forme algébrique de $z_1$. \item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$. \item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.\index{probabilités} Un \emph{individu sain} est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie. Un \emph{individu malade} est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri. Un \emph{individu guéri} est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri. Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade. Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant: \begin{description} \item[\textbullet] $5\,\%$ des individus tombent malades ; \item[\textbullet] $20\,\%$ des individus guérissent. \end{description} Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience. On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$ \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$. \item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$. \end{enumerate} On admet que $c_{n+1} = \np{0,2}b_n + c_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit\index{matrices} $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$ On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} \np{0,95}&0&0\\ \np{0,05}&\np{0,8}&0\\ 0&\np{0,2}&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} \np{0,95}&0&0\\ 0&\np{0,8}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$. \medskip On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} \np{0,95}^n&0&0\\ 0&\np{0,8}^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ \end{enumerate} On admet que $A^n =\begin{pmatrix} \np{0,95}^n&0&0\\ \dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)&\np{0,8}^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times\np{0,95}^n+\np{0,8}^n\right)&1-\np{0,8}^n&1 \end{pmatrix}$ \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)$ \item Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$. \item On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit. On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum. À cet effet, on utilise l'algorithme\index{algorithme} donné en \textbf{annexe 2 (\emph{à rendre avec la copie})}, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$. Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en \textbf{annexe 2}. Conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe 1} \textbf{\emph{À rendre avec la copie}} \begin{center} \textbf{\bsc{Exercice 3}} \textbf{Représentations graphiques des fonctions $f$ et $\mathcal{A}$} \vspace{1cm} \psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.2,-1)(5,1) \multips(0,0)(0,0.1){11} {\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(5,0)} \multips(0,0)(0.2,0){26}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,1)} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,1.1) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x 2.718281828 x exp div} \psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=4000,linewidth=1.5pt]{0}{5}{1 x 1 add 2.718281828 x exp div sub} \begin{scriptsize} \rput[b](1,-0.05){1} \rput[b](2,-0.05){2} \rput[b](3,-0.05){3} \rput[b](4,-0.05){4} \end{scriptsize} \rput[b](5,-0.05){$x$} \rput[l](-0.15,1.1){$y$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{Annexe 2} \textbf{\emph{À rendre avec la copie}} \bigskip \begin{center} \textbf{\bsc{Exercice 4}} \textbf{Algorithme et tableau à compléter} \end{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{center} \begin{tabular}{|lcl|}\hline \textbf{Variables}& : &$b,~b',~x,~y$ sont des réels\\ && $k$ est un entier naturel\\ \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $b$ la valeur 0\\ && Affecter à $b'$ la valeur $\np{0,05}$\\ && Affecter à $k$ la valeur $0$\\ && Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95}$\\ && Affecter à $y$ la valeur $\np{0,8}$\\ \textbf{Traitement}&:& Tant que $b < b'$ faire :\\ &&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $k$ la valeur $k+1$\\ Affecter à $b$ la valeur $b'$\\ Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95} x$\\ Affecter à $y$ la valeur $\np{0,80} y$\\ Affecter à $b'$ la valeur $\cdots\cdots$ \end{tabular}\\ &&Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}&:& Afficher $\cdots\cdots$ \\\hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \begin{center} % \usepackage{array} is required \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{3.5cm}|>{\centering}c|c|c|c|c|c|} \hline & $k$ & $b$ & $x$ & $y$ & $b'$ & Test: $b < b'$ ? \tabularnewline \hline Après le $7\up{e}$ passage \newline dans la boucle Tant que & 7 & $\np{0,1628}$ & $\np{0,6634}$ & $\np{0,1678}$ & $\np{0,1652}$ & \bsc{Vrai} \tabularnewline \hline Après le $8\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & & & & & & \tabularnewline \hline Après le $9\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & & & & & & \tabularnewline\hline \end{tabular} \end{center} \end{document}