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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{2 mars 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}

\medskip

\textbf{ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014} 

\textbf{MATHÉMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}
 
Les calculatrices sont autorisées.

\medskip

{\large\textbf{Exercice Vrai-Faux}\hfill 8 points}

\begin{center}\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$  définie par $u_{0} =  8$ et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{5}u_{n} + 2.\]

La suite $\left(u_{n}\right)$  est décroissante.
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite croissante et majorée. La suite $\left(u_{n}^2\right)$ est aussi croissante et majorée.
\item  Soit $b$ un nombre réel et soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[f(x) = x^2 +  bx + 4.\]

 Le minimum de la fonction $f$ est inférieur ou égal à 4.
\item  L'équation $\text{e}^x - 2\text{e}^{- x} = - 1$ admet 2 solutions réelles.
\item  La courbe représentative de la fonction logarithme népérien, notée ln, est toujours au-dessous de sa tangente en 1.
\item  Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction. On admet que 3\,\% des rondelles ont un diamètre défectueux.

On prélève au hasard 10 rondelles dans le stock pour vérification du diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. La probabilité de tirer au moins une rondelle au diamètre défectueux est égale à $0,263$ arrondi à $10^{- 3}$ près.
\item  Une urne contient 10 boules blanches et 4 boules rouges. Un joueur tire successivement et avec remise 20 boules de l'urne.

Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2\euro{} et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~\euro.

On désigne par $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. L'espérance de $G$ est de $\dfrac{200}{7}$.
\item  Soient les points A$(-2~;~1)$, B(2 ; 2) et C(1 ; 5). Le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item  Dans un repère \Oij{} du plan, une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point A(3~;~1) et de vecteur directeur $\vect{u}\left(- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{3}\right)$ est 

$- 3x + 10y - 1 = 0$.
\item  On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|>{\centering \arraybackslash}l|}\hline
Traitement&Affecter 1 à S\\
&Affecter $1$ à $n$\\
&Tant que $S < 1,5$\\
&\hspace{0,5cm}Affecter $n+1$ à $n$\\
&\hspace{0,5cm}Affecter $S + \dfrac{1}{n^2}$ à $S$\\
&Fin tant que\\ \hline
Sortie& Afficher la valeur de $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'algorithme calcule la somme $1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{6^2}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Problème \hfill 12 points}
\end{center}

Les parties A, B et C de ce problème sont dans une large mesure indépendantes.

L’objet de ce problème est d’étudier la rémunération d'un capital donné sur un compte en faisant varier la période pour l’application d’un taux d’intérêt.

\medskip

\textbf{Partie A : Calculs d'intérêts}

Dans ce problème on considère l'évolution au cours d'une année d'un capital de 1 millier d'euros placé en début d'année sur un compte bancaire rémunéré.

Supposons dans un premier temps que le compte est rémunéré avec un taux d'intérêt annuel de 10\,\%.

Au bout d'un an le montant des intérêts est alors égal à 10\,\% de 1 millier d'euros soit un montant de 0,1 millier d'euros. Le capital disponible sur le compte devient alors égal à 1,1 milliers d'euros. Résumons
avec un tableau $\left(\text{T}_{1}\right)$ :

\begin{center}

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Début janvier	& Fin décembre\\ \hline
Intérêts&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}				& 0,1\\ \hline
Capital	& 1				& 1,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Supposons maintenant que le compte est rémunéré avec un taux de 5\,\% mais tous les 6 mois et résumons dans un tableau l'évolution du capital et des intérêts au bout de 6 mois (fin juin) puis au bout de 12 mois (fin décembre). On obtient alors le tableau $\left(\text{T}_{2}\right)$ suivant :

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Début Janvier	& Fin Juin	& Fin Décembre\\ \hline
Intérêts&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} 				&0,05		& $1,05\times 0,05 = \np{0,0525}$\\ \hline
Capital	& 1				& 1,05		& 1,1025\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les trois capitaux successifs figurant dans la dernière ligne du tableau $\left(\text{T}_{2}\right)$ ci-dessus sont-ils les premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, en donner la raison.
\item On suppose dans cette question que le compte est rémunéré chaque mois avec un taux égal à $\dfrac{a}{12}\,\%$ où $a$ est un réel strictement positif.

En appliquant les mêmes méthodes de calcul que précédemment, compléter le tableau donné en annexe en prenant $a = 10$. On arrondira les résultats à $10^{-4}$ près.
\item  Expliquer pourquoi les capitaux successifs du tableau précédent sont les 13 premiers termes d'une suite géométrique de raison $\left(1 + \dfrac{1}{120}\right)$. 

En déduire la valeur exacte du capital à la fin du mois de
décembre.
\item Soit $n$ un entier non nul. On se place maintenant dans le cas d'une banque appliquant $n$ fois au cours de l'année (à intervalles réguliers) un taux d'intérêt égal à $\dfrac{a}{n}\,\%$ où $a$ est un réel strictement positif.

Proposer et justifier une formule permettant de calculer le capital, noté $U_{n}$, présent sur le compte à la fin décembre, c'est-à-dire au bout de $n$ périodes. On définit ainsi une suite $\left(U_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Étude théorique}

\medskip

L’objectif de cette partie est de proposer un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée du nombre e (où $\ln \text{e} = 1$).

Soient les suites $\left(a_{n} \right)$ et $\left(b_{n} \right)$ définies pour tout entier naturel $n$ non nul par :

\[a_{n} = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \quad \text{et} \quad b_{n} = a_{n}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Le graphique suivant représente les 20 premiers termes des suites 
$\left(a_{n} \right)$ et $\left(b_{n} \right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(20,4.75)
\psaxes[Dx=2,Dy=0.5](0,0)(20,4.5)
\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,4.5)}
\multido{\n=0.0+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(20,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](1,2)(2,2.25)(3,2.3704)(4,2.4414)(5,2.4883)(6,2.5216)(7,2.565)(8,2.5658)(9,2.5812)(10,2.5937)(11,2.6042)(12,2.613)(13,2.6206)(14,2.6272)(15,2.6329)(16,2.6379)(17,2.6424)(18,2.6464)(19,2.65)(20,2.6533)
\psdots[dotstyle=square*](1,4)(2,3.375)(3,3.1605)(4,3.0518)(5,2.986)(6,2.9419)(7,2.9103)(8,2.8865)(9,2.868)(10,2.8531)(11,2.8409)(12,2.8308)(13,2.8222)(14,2.8148)(15,2.8084)(16,2.8028)(17,2.7979)(18,2.7934)(19,2.7895)(20,2.786)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Par le calcul de quelques termes (ou par une autre justification) identifier les suites $\left(a_{n} \right)$ et $\left(b_{n} \right)$ sur
ce graphique.
		\item Conjecturer leur sens de variation.
	\end{enumerate}

\textbf{Pour la suite du problème, on admet que les conjectures sont validées.}

\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_{n} \leqslant  b_{n}$.
\item  Convergence de la suite $\left(a_{n} \right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de l'inégalité suivante : pour tout nombre réel $x$,\:  $1 +  x \leqslant \text{e}$.
		\item Démontrer, en utilisant l'inégalité précédente que l'on admet, que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$a_{n} \leqslant \text{e}$.
		\item Prouver que la suite $\left(a_{n} \right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
	
\textbf{Dans la suite de l'exercice on admet que la suite $\left(a_{n} \right)$ converge vers le nombre e.}
	
\item  Convergence de la suite $\left(b_{n} \right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $0 \leqslant b_{n} - a_{n} \leqslant\dfrac{\text{e}}{n}$.
		\item En déduire que la suite $\left(b_{n} \right)$ est convergente et préciser sa limite.
		\item Démontrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, $b_{n} \geqslant \text{e}$.
		\item En déduire que $\text{e} \leqslant  4$ et donc que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$0 \leqslant b_{n} - a_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n}$.
\item  Proposer un algorithme permettant de déterminer un encadrement du nombre e à $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Généralisation}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.5)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.2,-0.5)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1,-0.5)(-1,1.25)

\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.9}{1.25}{x 1 add ln x sub x dup mul add}
\uput[d](-0.5,0){$- 0,5$}
\psline{<->}(-0.8,0.06)(-0.2,0.06)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.06)
\end{pspicture*}
\end{center}

On sait qu'il existe un nombre réel $c$ tel que $f(x) =  \ln (1 + x) - x +  cx^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique, donner la valeur de $f'\left(- \frac{1}{2}\right)$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ : $f'(x) = \dfrac{2cx^2 + (2c - 1)x}{1 + x}$.
\item En déduire la valeur de $c$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0,\, f(x) \geqslant 0$.
		\item À l'aide de l'inégalité établie graphiquement à la question 3. a. de la partie B, prouver que, pour tout réel $x \geqslant - 1 :\, \ln (1 + x) \leqslant x$.
		\item En déduire que pour tout réel $x \geqslant 0 :\: -  x^2 \leqslant  \ln (1 + x) - x \leqslant  0$.
	\end{enumerate}
\item  Prouver que, pour tout réel $t \geqslant 0$ et tout entier naturel $n$ non nul : 

\[- \dfrac{t^2}{n} \leqslant n \ln \left(1 + \dfrac{t}{n}\right) - t \leqslant 0.\]

\item  Pourquoi peut-on en déduire que, pour tout réel $t \geqslant 0$, la suite de terme général $\left(1 + \dfrac{t}{n}\right)^n$ tend vers
$\text{e}^t$ ?
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$ définie à la question A. 4.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Probl\`eme -- Partie A -- Question 2}

\bigskip

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& Intérêts (en milliers)&Capital en milliers arrondi à $10^{- 4}$\\ \hline
Début janvier&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&1\\ \hline
Fin janvier&\np{0,0083}&\np{1,0083}\\ \hline
Fin février&\np{0,0084}&\np{1,0167}\\ \hline
Fin mars&&\\ \hline
Fin avril&&\\ \hline
Fin mai&&\\ \hline
Fin juin&&\\ \hline
Fin juillet&&\\ \hline
Fin août&&\\ \hline
Fin septembre&&\\ \hline
Fin octobre&&\\ \hline
Fin novembre&&\\ \hline
Fin décembre&&\np{1,1047}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}