\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : %Remerciements à Johann Dolivet et Mickaël Goyot \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, %pdftitle = {Amérique du Sud 22 novembre 2024}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{22 novembre 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 22 novembre 2024~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France: \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(8.5,41) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(8.5,40) \uput[d](1,0){A+}\uput[d](2,0){O+}\uput[d](3,0){B+}\uput[d](4,0){A$-$} \uput[d](5,0){O$-$}\uput[d](6,0){AB+}\uput[d](7,0){B$-$}\uput[d](8,0){AB$-$} \multido{\n=0+5}{9}{\uput[l](0,\n){\n\,\%}} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(1.2,38.2)\uput[u](1,38.2){38,2\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,36.5)\uput[u](2,36.5){36,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,7.7)\uput[u](3,7.7){7,7\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,6.8)\uput[u](4,6.8){6,8\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,6.5)\uput[u](5,6.5){6,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2.5)\uput[u](6,2.5){2,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,1.4)\uput[u](7,1.4){1,4\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,0.4)\uput[u](8,0.4){0,4\,\%} \end{pspicture} \medskip \emph{\scriptsize Source : https://fr.statista.com!statistiques/6 56036/ groupes-sanguins-repartition-rh- france/} \end{center} A+, O+, B+, A$-$, O$-$, AB+, B$-$ et AB$-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus. Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +. Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus. Dans l'exercice, on adopte les notations du type : $A$ + est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + \fg $A -$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ \fg $A$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A \fg \medskip Les parties 1 et 2 sont indépendantes. \newpage \textbf{Partie 1} \medskip On note $Rh$ + l'évènement \og La personne est de rhésus positif \fg. \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849. \item Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à 0,001 près. \item Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près. \medskip Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5\,\% de la population française est de groupe O$-$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse. \item On considère la fonction ci-dessous nommée \texttt{proba} d'argument k écrite en langage Python. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline def proba(k):\\ \quad p=0\\ \quad for i in range(k+1):\\ \quad \quad p = p + binomiale(i,50,0.065)\\ \quad return p\\ \hline \end{tabular} \end{center} Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i, n$ et $p$, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Cet exercice contient 5 affirmations. Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse. Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère la suite $(u_n)$ définie par: \begin{center}$u_0 = 10$\, et pour tout entier naturel $n,\,u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2$.\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1} : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0. \item \textbf{Affirmation 2} : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$. \item \textbf{Affirmation 3} : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère l'équation différentielle $(E) :\, y' = \dfrac32 y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\R$ \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 4} : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle (E). \item Dans un repère orthonormé \Oij{} on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$. \item \textbf{Affirmation 5} : La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \e^{\frac32}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par : \[f(x) = \left(x^2 - 4\right)\e^{-x}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Justifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)\e^{-x}$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\e^{-x}\, \text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $I_0 = \e^2 - 1$. \item En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : \[I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.\] \item En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip \begin{minipage}{0.55\linewidth} \begin{enumerate} \item Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1. \item On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.43\linewidth} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-3,-9)(5,3) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(0,1)\uput[d](1,0){\scriptsize $\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){\scriptsize $\vect{\jmath}$} \psaxes[Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-9)(5,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{-3}{6}{x dup mul 4 sub 2.71828 x exp div} \pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=red]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-2}{0}{x 2 exp 4 sub 2.71828 x exp div}\psline[linewidth=0.2pt](0,-4)(0,0)(-2,0)}\uput[dl](0,0){\small O} \uput[r](-2,2){\red $\mathcal{C}_f$}\rput(-1,-3){$D$} \end{pspicture*} \end{minipage} \bigskip \textbf{\Large Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les trois points A(3~;~0~;~0), B(0~;~2~;~0) et C(0~;~0~;~2). \begin{center} \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(3,2.5) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,1) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(-0.6,-0.6) \uput[u](0.5,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{k}$} \uput[ul](-0.3,-0.3){\footnotesize $\vect{\imath}$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0) \psline(3,0)\psline(0,2.5)\psline(-2,-2) \uput[ul](-1.8,-1.8){A}\uput[u](2,0){B}\uput[l](0,2){C} \psdots(-1.8,-1.8)(2,0)(0,2)\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante : \og Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC \fg, \bigskip \textbf{Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~3~;~3)$ est normal au plan (ABC). \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{n}$. \item On note H le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC). Déterminer les coordonnées du point H. \item En déduire que la distance du point O au plan (ABC) est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2 : Démonstration de la propriété} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2. \item En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{22}$. \item Démontrer que pour le tétraèdre OABC, \og le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre \fg. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base. \end{enumerate} \end{document}