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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Sportifs de haut-niveau}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau octobre 1998~\decofourright\\ }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles.

Neuf amis, cinq garçons et quatre filles, décident de tirer au sort 
deux conducteurs, qui devront rester sobres durant une soirée.

Chacun écrit son nom sur un carton glissé ensuite dans une boite.
L'un d'entre eux extrait au hasard, successivement et sans remise, 
deux cartons de la boîte.

On définit les évènements $G_{1}$,~ $G_{2}$,~ $F_{1}$ et $F_{2}$ par :

\setlength\parindent{9mm}
$G_{1}$ \og Un garçon est désigné au premier tirage \fg{} ;

$G_{2}$ \og Un garçon est désigné au deuxième tirage \fg{} ;

$F_{1}$ \og Une fille est désignée au premier tirage \fg{} ;

$F_{2}$ \og Une fille est désignée au deuxième tirage \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le nom d'une fille apparaisse au deuxième tirage sachant que le nom  d'un garçon a été lu sur le premier carton.
		\item Calculer la  probabilité de l'évènement $G_{1}~ \cap~  
F_{2}$.

La comparer à celle de l'évènement $G_{2}~ \cap~  F_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'il y ait deux conductrices en fin de soirée. 
\item Calculer la probabilité que le sort désigne une fille au deuxième tirage. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles désignées.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 4 
cm), la courbe $\mathcal{C}$, représentée ci-dessous représente une fonction
$f$ définie et dérivable sur l'intervalle I $= \left]0~;~\text{e}^{1,5}\right]$.

La fonction dérivée de $f$ est notée $f^{\prime}$.

Les variations de $f$ sont données par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm} 
\begin{pspicture}(5,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$0$} \uput[u](3,2){$a$}  \uput[u](4.6,2){e$^{1,5}$} 
\rput(0.6,1){$f(x)$}   \psline[doubleline=true](1.2,0)(1.2,2) 
\rput(3,1.7){$1/4$} \psline{->}(1.5,0.4)(2.7,1.6) 
\psline{->}(3.3,1.6)(4.5,0.4)
\psline(0,2.5)(5,2.5)  \psline(0,2)(5,2)  \psline(0,0)(5,0)
\psline(0,0)(0,2.5)  \psline(1,0)(1,2.5)  \psline(0,0)(0,2.5)  \psline(5,0)(5,2.5)  
\end{pspicture}
\end{center}

On précise que :

$\bullet~$ Les droites ($\Delta$) et (D) sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}$
respectivement aux points A d'abscisse $a$ et B d'abscisse 1.

$\bullet~$  La droite ($\Delta$) est parallèle à l'axe des abscisses.

$\bullet~$ L'axe des ordonnées est asymptote à  $\mathcal{C}$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.} Par lecture graphique, sans 
justification des résultats, donner : 

\begin{enumerate}
\item Les valeurs suivantes : 
$f(\text{eø})$,\: $f(a)$,\: $f’(1)$,\: $f’(a)$.
\item La limite de $f$ en 0.
\item Le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x,~ x$ étant dans l'intervalle I.
\item L'ensemble des solutions, sur l'intervalle I, de l'inéquation : $f'(x) \geqslant 0$.
\item Une interprétation du nombre 
$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\: \text{d}x$ et trouver parmi les
intervalles suivants celui auquel appartient ce nombre :
\[[0~;~0,2[,~[0,2~ ;~0,4[,~[0,4~;~ 0,6[,~ [0,6~;~1[,~[1~;~2[.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.} La fonction $f$ est définie sur 
$= \left]0~;~\text{e}^{1,5}\right]$ par : 

\[f(x) = \ln x - (\ln x)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul le résultat
trouvé en \textbf{I. 3.}. 
\item Déterminer le nombre $a$, 
abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-0.25,-1.25)(4.75,1.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0pt](0,0)(0,-1.25)(5,1.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1.25)(5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0,-1)(2.25,1.25) \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0.5,0.25)(2.5,0.25) 
\psline[linestyle=dashed](1.61,0)(1.61,0.25)
\psline[linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,-0.75)
\rput(0.8,0.1){B}  \rput(1.61,0.4){A}  \uput[u](2.25,0.25){$\Delta$}
\rput(4.5,0.1){e$^{1,5}$} 
\rput(1.61,-0.2){$a$}  \rput(2.71,-0.2){e}  \rput(2.25,1.1){(D)}
\rput(4.15,-0.72){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4.5}{ x ln x ln dup mul  sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un salarié remarque qu'il lui reste, chaque mois, \np{2000}~F (francs 
français) de son salaire mensuel.

Il décide donc, en 1998, de réaliser une épargne \og prudente \fg{} de la 
façon suivante :

\smallskip

$\bullet~~$Le 28 de chaque mois, il verse 50\,\% du solde de son compte courant 
sur un plan d'épargne.

Le solde est nul le 28 décembre 1997.

$\bullet~~$Le 28 janvier 1998, le solde de son compte courant est : $S_{1}$ = \np{2000} 
F ; il verse donc la somme $e_{1} = \np{1000}$ F sur son plan d'épargne et laisse \np{1000} F sur son compte courant.

$\bullet~~$Le 28 février 1998, le solde $S_{2}$ est égal à \np{3000} F : c'est-à-dire 
\np{1000}~F restant, plus \np{2000}~F d'économies mensuelles. Il verse donc 
$e_{2} = \np{1500}$~F sur son plan d'épargne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $e_{3}$ et $e_{4}$, versements respectifs de son compte courant à son plan d'épargne le 28 mars et le 28 avril.
\item On désigne par $e_{n}$ le montant théorique du versement du compte courant au plan d'épargne le 28 du $n\up{\text{e}}$  mois qui suit le mois de décembre 1997.

On a donc $e_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(e_{n} + \np{2000}\right)$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, on définit la suite 
$\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = \np{2000} - e_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et de 
premier terme $v_{1}$ = \np{1000}.
		\item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $v_{1} + v_{2} + \ldots  + v_{12}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $e_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Trouver le montant de la somme capitalisée sur le plan d'épargne au 29 décembre 1998.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère un produit dont le prix unitaire est $x$ (en milliers de 
francs français).

D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ (en 
milliers d'objets) de ce produit sont définies, pour tout $x$ positif ou nul, par 
les formules :

\[f(x) = \text{e}^{0,5x} - 1 \quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{ 8}{\text{e}^{0,5x}
+ 1}.\]

\bigskip

\textbf{ Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f(0)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty$[.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g(0)$ et  la  limite de $g$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal (on prendra pour unité graphique 4~cm).

Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ après avoir 
déterminé et tracé les tangentes respectives à ces deux courbes aux points 
d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B}
 
\medskip
 
L'équation $f(x) = g(x)$ admet une solution unique $p$ dans l'intervalle   $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner une
approximation à $0,1$ près de $p$ et du nombre $n = f(p)$ (on fera apparaître les
tracés permettant cette lecture).

\medskip 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p$ et $n$.
		\item Le nombre $p$ est appelé \og prix d'équilibre \fg{} du produit.
Donner le prix d'équilibre, exprimé en francs, arrondi au franc près, 
ainsi que le nombre correspondant d'objets proposés sur le marché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère les nombres I = $\displaystyle\int_{0}^{\ln 9}\: 
g(x)\:\text{d}x$ et J	 = I $- np$.

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de I.

En déduire une interprétation géométrique de J (on pourra utiliser 
des hachures de couleurs différentes). 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[h(x) = x - 2 \ln \left(\text{e}^{0,5x} + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $h’(x)$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
		\item En déduire que I égale $8 \ln 9 - 8 \ln 4$.
		\item En économie, on considère que J exprime, en millions de francs, la 
\og~rente~\fg{} des consommateurs.

Déterminer, au millier de francs près, une estimation de la \og~rente~\fg{} des
consommateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}