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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small  octobre 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau octobre 1995~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne, pour les années impaires, le taux de chômage de la population active entre 1973 et 1993 (source : \emph{INSEE - Ministère du travail $1994$}).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année 								&73 &75 &77 &79 &81 &83 &85 &87 &89 &91 &93\\ \hline  
rang de l'année $\left(x_{i}\right)$&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 &11\\ \hline 
taux de chômage en \,\% $\left(y_{i}\right)$ &2,5 &3,9 &4,8 &6 &7,1 &8 &9,9 &10,5&9,8&10,4  &12\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère orthonormal (unité graphique : 1~cm) le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et placer le point moyen $G$, après avoir donné ses coordonnées $x$ et $y$ (arrondies à $10^{-1}$ près). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'approximation décimale arrondie à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ (on ne demande pas de présenter les calculs intermédiaires).
		 
Un ajustement affine est-il justifié? 
		\item Donner, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ (on donnera pour $a$ et $b$ les approximations décimales arrondies à $10^{-1}$ près).
		 
Construire cette droite sur le graphique de la question 1. 
		\item Si l'on utilisait l'équation précédente, quel taux de chômage pourrait-on prévoir pour l'année 1995 ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

Un examen comportant deux épreuves vient d'avoir lieu. On appelle $N_{1}$ la note obtenue à la première épreuve, et $N_{2}$ celle obtenue à la deuxième. Un étudiant est reçu à l'examen si, à chacune des deux épreuves, sa note est supérieure ou égale à $10$. 

Le tableau ci-dessous donne une répartition des notes des $350$ étudiants 
qui ont subi les deux épreuves de l'examen.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	& $N_{1} < 10$	& $10 \leqslant N_{1} < 12$& $N_{1} \geqslant 12$& Total\\ \hline 
$N_{2} < 10$ 		&70 					&					&	&210 \\ \hline
$N_{2} \geqslant 10$&						&					&	&\\ \hline 
Total				& 140 					&					&	&350 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On sait, de plus, que
 
- pour $20$\,\% des étudiants, $N_{1} \geqslant 12$ ; 

- parmi les étudiants pour lesquels $N_{1} \geqslant 12$, il y en a $80$\:\% pour lesquels $N_{2} \geqslant 10$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau précédent. On expliquera seulement pourquoi il y a $56$~étudiants pour lesquels $N_{1} \geqslant 12$ et $N_{2} \geqslant 10$. 
\item On décide de choisir au hasard un étudiant parmi les $350$ qui ont subi les deux épreuves de l'examen.
 
À l'aide du tableau, donner les probabilités que : 
	\begin{enumerate}
		\item ses deux notes soient strictement inférieures à 10;   
		\item sa note à la deuxième épreuve soit strictement inférieure à 10, sachant que la note qu'il a obtenue à la première épreuve est strictement inférieure à 10 ;
		\item cet étudiant soit reçu à l'examen. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude graphique de \boldmath$f$ \unboldmath sur \boldmath $[-1~;~3]$ \unboldmath}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, dont la dérivée est notée $f'$. 

À l'aide d'un ordinateur, on a tracé ci-dessous la courbe $\Gamma$, représentative  de $f'$ sur l'intervalle $[-1~;~3]$, dans un repère orthogonal \Oij. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(3,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(3,1.1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7}{3}{1 2 2.71828 x exp div sub}
\uput[ul](0.69,0){$\ln 2$}\rput(1,-3.5){Représentation graphique de $f'$}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

On répondra, à l'aide de cette figure, aux questions posées dans cette partie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~3]$.
		 
Préciser pour quelle valeur de $x$, la fonction $f$ admet un extremum. 
		\item $\mathcal{C}_{f}$ désignant la courbe représentative de $f$ dans un repère
\Oij, donner le coefficient directeur de la tangente de cette courbe, au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ représentées ci-dessous, se trouve la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
 
Indiquer celles qui ne conviennent pas, en donnant pour chacune une justification. 
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{0.5 2.71828 x exp mul 1 sub}\uput[r](2.2,3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$}
\end{pspicture}&\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-4)(3,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x  2.71828 x exp 0.5 mul sub 3 add}
\uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,2.6)\uput[r](2.2,0.8){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture}\\ \hline
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,4.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 2 2.71828 x exp div add}
\uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,1.6)\uput[u](2.8,2.9){$\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture}&\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{2.71828 x exp 0.125 mul   x 0.5 mul  sub 1.586 add}
\uput[d](0.69,0){\footnotesize $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,1.4)\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](1.38,0)(1.38,1.4)
\uput[d](1.38,0){\footnotesize $2 \ln 2$}\uput[u](2.8,2.3){$\mathcal{C}_{4}$}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Étude de la fonction \boldmath$f$\unboldmath sur }\:\boldmath$\R$\unboldmath

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose d'étudier sur $\R$, par le calcul, la fonction 
$f$ de la partie A.
 
On admet que $f$ est définie, pour tout $x$ de $\R$, par 

\[f(x) = x + 2\text{e}^{-x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et préciser la position relative de $D$ et de $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x + 2\right)$. 

En déduire la limite de $f$ en $- \infty$ (on admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{- x} = 0$). 
 
\item Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente de $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Existe·t·il des droites tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ parallèles à $D$ ?
		
Justifier la réponse. 
	\end{enumerate} 
\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$. 

On donnera la valeur exacte, puis l'approximation décimale arrondie à $10^{-2}$ près.
 
Décrire une partie du plan ayant pour aire (en unité d'aire) la valeur trouvée. 
\end{enumerate}
\end{document}