\documentclass{cours}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\classe{Terminale ES}
\etab{Lycée Sud Medoc}

\titre{Correction TES Amérique du Nord mai 2012}

\textbf{Exercice 1 - commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}  
\begin{enumerate}
	\item En utilisant la calculatrice, on obtient pour équation pour la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés, 
	$y=ax+b$ avec $a\approx 10,.686$ et $b\approx 26,144$. 
	\item L'année 2010 correspond au rang $x=11$. De ce fait, à l'aide de l'ajustement précédent, on obtient pour estimation de la population du Nigeria en 2010, $y=10,686\times11+26,144=143,69$ soit donc \np{143690} milliers d'habitants. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}  

\emph{Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au millième.}

\begin{enumerate}
	\item En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitants au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement exponentiel. On pose donc pour cela $z=\ln(y)$. On obtient ainsi le tableau ci-dessous.\\[0.4cm]
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang $\left( x_i \right)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
$z_i=\ln\left( y_i \right)$ & 3,810 & 3,920 & 4,034 & 4,158 & 4.311 & 4,444 & 4,578 & 4,705 & 4,827 & 4,948\\ \hline
\end{tabularx}
\\[0.2cm]
	\item Grâce à la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est 
	$z=ax+b$ avec $a\approx 0,129$ et $b\approx3,662$.
	\item On a donc d'après ce qui précède $\ln(y)=0,129x+3,662$ donc $y=\text{e}^{0,129x+3,662}$ et donc $y=\text{e}^{3.662}\times \text{e}^{0,129x}$. Or $\text{e}^{3.662}\approx 38,939$ donc finalement $y=38,939\text{e}^{0,129x}$.
	\item En utilisant cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010, on obtient $y=38,939\text{e}^{0,129\times11}\approx 160,934$ soit donc \np{160934} milliers d'habitants..
	\item 2050 correspond à un rang $x= 19$. D'après l'ajustement trouvé précédemment, la population du Nigeria serait alors égale à $y=38,939\text{e}^{0,129\times19}\approx451,690$ soit donc un peu moins de 452 millions d'habitants. 
	L'estimation faite par l'Institut National d'\'Etudes Démographiques (INED) ne correspond donc pas ici au modèle d'ajustement exponentiel obtenu.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 - pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Un restaurateur propose trois formules à midi :
\begin{itemize}
	\item[] Formule $A$ : Plat du jour / Dessert / Café 
	\item[] Formule $B$ : Entrée / Plat du jour / Dessert / Café
	\item[] Formule $C$ : Entrée / Plat du jour / Fromage / Dessert / Café 
\end{itemize}
Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.

Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.

On sait aussi que :
\begin{itemize}
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
	\item Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
\end{itemize}
Un client se présente au restaurant pour le repas de midi. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
	\item[]  $A$ : \og le client choisit la formule $A$ \fg 
	\item[]  $B$ : \og le client choisit la formule $B$ \fg 
	\item[]  $C$ : \og le client choisit la formule $C$ \fg 
	\item[]  $V$ : \og le client commande du vin \fg 
\end{itemize}
\emph{Les probabilités demandées seront arrondies, si c'est nécessaire, au centième.}
\begin{enumerate}
	\item $p(C)=1-p(A)-p(B)$. Or d'après l'énoncé, on a $p(A)=\frac{1}{5}$ et $p(B)=\frac{1}{2}$ donc $p(C)=1-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}$.
	\item Arbre de probabilités modélisant la situation :
	\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=.75pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,treesep=.75,npos=0.6,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{\bleu $\;A\;$}\taput{0,2}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}\taput{0,25}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}\tbput{0,75}
 		}
	\pstree{\TR{\bleu $\;B\;$}\taput{0,5}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}\taput{0,4}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}\tbput{0,6}
 		}
	\pstree{\TR{\bleu $\;C\;$}\tbput{0,3}}
		{
		\TR{\bleu $\;V$}\taput{$\frac{2}{3}$}
		\TR{\bleu $\;\overline{V}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
 		}
}
\\[0.5cm]
\end{center}
\item On sait que $p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V)$ Or $p(A\cap V)=0.2\times0,25=0,05$, $p(B\cap V)=0,5\times0,4=0,2$ et $p(C\cap V)=0,3\times\dfrac{2}{3}=0,2$ donc $p(V)=0,05+0,2+0,2=0,45$.
\item La probabilité demandée ici est $p_V(A)$. Or $p_V(A)=\dfrac{p(A\cap V)}{p(V)}=\dfrac{0,05}{0,45}=\dfrac{1}{9}\approx 0,11$.
\item La formule $A$ coûte 8 euros, la formule $B$ coûte 12 euros et la formule $C$ coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros. On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.
\begin{enumerate}
	\item La loi de probabilité de $D$ est donnée par le tableau ci-dessous.\\
	\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
	\hline
	$D=$ & 8 & 11 & 12 & 15 & 18 \\
	\hline
	$Proba$ & 0,15 & 0,05 & 0,3 & 0,3 & 0,2 \\
	\hline	
	\end{tabular}
	\item La dépense moyenne par client en euro est en fait ici l'espérance de $D$ soit donc 

\[E=8\times0,15 + 11\times0,05 + 12\times0.3 + 15\times0,3 + 18\times0,2 =13,45\]

	Ainsi la dépense moyenne par client est de 13,45 euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 - pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture de l'énoncé, on a $P_0=\begin{pmatrix} 0,80  & 0,20  \\ \end{pmatrix}$.
\item Représentation de la situation par un graphe probabiliste :\\[0.3cm]
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
 & A &  &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,2}{0.7cm}^{0.7}
\ncarc[arcangle=15]{1,2}{1,6}^{0.3}
\ncarc[arcangle=15]{1,6}{1,2}^{0.1}
\nccircle[angleA=270]{1,6}{0.7cm}^{0.9}
\end{center}\vspace{0.3cm}
\item La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,1 & 0,9 \\ \end{pmatrix}$.
\item La matrice $P_2$ est égale à $P_2=P_0\times M^2 = \begin{pmatrix} 0,448 & 0.552 \\ \end{pmatrix}$. De ce fait, 44,8 \% des adhérents choisiront l'abonnement $A$ en 2012.
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $0$, on a 

$P_{n+1}=\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ \end{pmatrix}=P_n\times M =\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,1 & 0,9 \\ \end{pmatrix}$.\\
A partir de cette dernière égalité, on obtient le système suivant :
$$\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_{n+1}=0,7a_n+0,1b_n\\
b_{n+1}=0,3a_n+0,9b_n\\
\end{array} \right.$$
Mais on sait que $a_n+b_n=1$. Donc de la première égalité, on tire que $a_{n+1}=0.7a_n+0.1(1-a_n)=0,6a_n + 0,1$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, on pose $u_n = 4a_n - 1$. Donc on a 
$$u_{n+1}=4a_{n+1}-1 = 4(0.6a_n+0,1)-1=2.4a_n-0,6=0,6(4a_n-1)=0,6u_n$$
De ce fait, on en déduit que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0.6 et de premier terme $u_0=4a_0-1=2,2$.
\item De la question précédente, on déduit que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $0$, on a $u_n=2,2\times 0.6^n$ et donc $a_n=\dfrac{u_n+1}{4}=0,55\times 0.6^n+0,25$.
\item Puisque $-1 < 0.6 < 1$, on en déduit que $\displaystyle \lim_{n\mapsto +\infty}0.6^n=0$ et donc $\displaystyle \lim_{n\mapsto +\infty}a_n=0,25$ donc à terme, un quart des adhérents choisiront l'abonnement $A$.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 3 - commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item $f^{\prime}(-1)$ est le coefficient de la tangente à la courbe au point d'abscisse -1 soit donc par lecture graphique, $f^{\prime}(-1)=0$ (puisque la tangente considérée est horizontale).
	\item La fonction $f$ étant strictement décroissante sur $[-1~;~4]$, on en déduit que $f'(2)<0$.
	\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 0. De ce fait, puisque cette tangente a pour équation $y= -x + 2$, on en déduit que $f^{\prime}(0)=-1$.
\end{enumerate}
\item L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ correspond ici à l'aire du domaine situé entre la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$, exprimée en unité d'aire. Or ce domaine contient un rectangle de base 1 et de hauteur 2. De même, ce domaine est inclus dans un rectangle de base 1 et de hauteur 3. De ce fait, on en déduit l'encadrement ci-dessous.
$$2 < \displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \: \mathrm {d} x} < 3$$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\ 
La fonction $f$ de la \textbf{Partie A} a pour expression $f(x)= (x + 2) \mathrm{e}^{-x}$.
\begin{enumerate}
	\item L'ordonnée du point $A$ de la courbe $(C)$ est égale à $f(-1)$ soit donc $(-1 + 2) \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}^{1}$.
	\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-2~;~4]$ et quelque soit $x \in [-2~;~4]$, on a 
	$$f'(x)=\mathrm{e}^{-x}+(x+2)(-\mathrm{e}^{-x})=(-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$$
	Or $\mathrm{e}^{-x}$ est toujours positif quelque soit $x$. De ce fait, $f'(x)$ est du même signe que $- x - 1$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$. Or $-x - 1\leq 0 \Leftrightarrow -1\leq x$.\\
	De ce fait, $f'$ est positive sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ et négative sur $[-1;4]$ donc $f$ est croissante sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ et décroissante sur $[-1~;~4]$.
	\item La fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par $F(x)= (-x-3) \mathrm{e}^{-x}$ est dérivable et pour tout $x\in[-2~;~4]$, on a 

\[F^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}+(-x - 3)(-\mathrm{e}^{-x})=(x + 2)\mathrm{e}^{-x}=f(x)\]

De ce fait, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[-2;4]$.
	\item 
\begin{enumerate}
	\item D'après la question précédente, on en déduit que  
	$$\displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \: \mathrm {d} x} = F(0)-F(-1)= -3- (-2\mathrm{e}^{1})= 2\mathrm{e}^{1}-3 \approx 2,44$$
	\item L'encadrement obtenu à la question 2. de la Partie A est cohérent avec le résultat trouvé précédemment.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item Puisqu'on cherche la courbe représentative d'une primitive de $f$, cela veut dire que $f$ est en fait la dérivée de la fonction que l'on cherche. Or $f$ est positive sur $[-3;-2]$ puis négative sur $[-2;1]$ puis de nouveau positive sur $[1~;~2]$. De ce fait, la fonction dont on cherche la courbe est croissante sur $[-3~;~-2]$ puis décroissante sur $[-2;1]$ puis de nouveau croissante sur $[1;2]$.\\
La seule courbe cohérente avec le sens de variation décrit précédemment est la courbe (a).
\item On admet que l'équation $x \mathrm{e}^{2x-1} = 2 $ n'a qu'une solution $\alpha$ dans $\R$. Pour $x=0$, $x \mathrm{e}^{2x-1} =0\times \mathrm{e}^{2\times 0 - 1}=0$ et pour $x=1$, $x \mathrm{e}^{2x-1} =1 \times \mathrm{e}^{2\times1-1}=\mathrm{e} > 2$. Il suffit donc d'appliquer la technique de balayage avec la calculatrice sur l'intervalle $[0~;~1]$.\\
On obtient ainsi $0,899 < \alpha < 0,900$ donc $\alpha\approx 0.9$.
\item Le coût total est associé ici à la primitive $F$ de la fonction coût marginal qui vaut pour $x=0$ $5$ soit donc $F(0)=5$.
Du fait de la forme de l'expression de $f(x)$, on en déduit que $F$ a une expression de la forme $F(x)=2\ln(x + 1) + k$ ($k$ réel à déterminer) pour $x \in [0~;~20]$.\\
On souhaite que $f(0) = 5$. Or $F(0) = 2\ln(1) + k = k$ donc $k = 5$.\\
En définitive, le coût total en milliers d'euros pour une production de $x$ centaines de tentes est donné par $F(x) = 2\ln(x + 1)+5$.
\end{enumerate}

\end{document}