\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{xkeyval} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \everymath{\displaystyle} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\textwidth}{13cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{30 mai 2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 30 mai 2013~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification. \\ Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \bigskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $a$ non nul, le nombre réel $\text{e}^{- \frac{1}{a}}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~}$- \text{e}^{\frac{1}{a}}$& \textbf{b.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{a}}}$& \textbf{c.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^a}$& \textbf{d.~~}$\text{e}^a$ \end{tabularx} \medskip \item Pour tout réel $a$, le nombre réel $\text{e}^{\frac{a}{2}}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\sqrt{\text{e}^a}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^2}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{\sqrt{a}}$ \end{tabularx} \medskip \item Pour tout réel $x < 0$, le nombre réel $\ln \left(- \dfrac{1}{x} \right)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\ln (x)$&\textbf{b.~~}$- \ln (- x)$& \textbf{c.~~}$- \ln (x)$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{\ln (- x)}$ \end{tabularx} \medskip \item On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)$. La dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = 1$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \ln (x)$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \ln (x) + 1$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{- 3}$ près. \bigskip \begin{enumerate} \item Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée $X$, qui suit la loi normale de moyenne $40,5$ et d'écart type $12$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre $30$ et $35$~ans. \item Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55~ans. \end{enumerate} \item Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75\,\% des demandes de prêts immobiliers sont acceptées. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000}~demandes choisies au hasard et de faà§on indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées. \begin{enumerate} \item Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de prêts acceptés par la banque. \item Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les \np{1000}~dernières demandes effectuées, $600$~demandes ont été acceptées. Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95\,\%. \item Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir \np{100000}~ouvrages au total. Pour l'ouverture prévue le 1\up{er} janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de \np{35000}~ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de \np{7000}~ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5\,\% des ouvrages, trop vieux ou abà®més, et d'acheter \np{6000}~ouvrages neufs. On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l'année $(2013 + n)$. On donne $u_{0} = 42$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,95 + 6$. \item On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \\ Variables :\\ \hspace{0.4cm}U, N\\ Initialisation :\\ \hspace{0.4cm}Mettre $42$ dans U\\ \hspace{0.4cm}Mettre $0$ dans N\\ Traitement : \\ \hspace{0.4cm}Tant que U $< 100$\\ \hspace{0.8cm}U prend la valeur U $\times\: 0,95 + 6$\\ \hspace{0.8cm}N prend la valeur N $+ 1$\\ \hspace{0.4cm}Fin du Tant que\\ Sortie\\ Afficher N.\\ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que \np{4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des \np{6000} prévus. On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l'année $(2013 +n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement. \item On admet que $v_{n+1} = v_{n} \times 0,95 + 4$ avec $v_{0} = 42$. On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n$, par $w_{n} = v_{n} - 80$. Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$. \item On admet que, pour tout entier naturel $n : w_{n} = - 38 \times (0,95)^n$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $\left(w_{n}\right)$. \item En déduire la limite de $\left(v_{n}\right)$. \item Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page. \bigskip On considère que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,9$. \item[$\bullet~~$] Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,8$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le $n$-ième jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le $n$-i\`eme jour. On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$. \medskip Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire les données par un graphe probabiliste. \item Préciser la matrice $M$ de transition associée à ce graphe. \item Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} = 0,1a_{n} + 0,8$. \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $u_{n}n = a_{n} - \dfrac{8}{9}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. \item Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer en justifiant la limite de $\left(a_{n}\right)$. \item Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture*}(-8,-5)(4.2,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.pt](-8,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-8,-4)(4.2,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(4.2,3.5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8}{2.93}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]{ \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul} \psline(2,0)(0,0)} \uput[d](4.1,0){$x$}\uput[l](0,3.4){$y$}\uput[ur](0,2){A}\uput[ur](2,0){D} \uput[r](3,-3.8){$C_{f}$} \rput(-1.5,-4.5){\emph{Figure} 1} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip On suppose que $f$ est de la forme $f(x) = (b - x)\text{e}^{ax}$ où $a$ et $b$ désignent deux constantes. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les points A(0~;~2) et D(2~;~0) appartiennent à la courbe $C_{f}$. \item[$\bullet~~$] La tangente à la courbe $C_{f}$ au point A est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, définie sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f(2)$ et $f'(0)$. \item Calculer $f'(x)$. \item En utilisant les questions précédentes, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système suivant : \[\left\{\begin{array}{r c l} b - 2&=&0\\ ab - 1 &=& 0 \end{array}\right.\] \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $f(x)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que $f(x) = (- x + 2) \text{e}^{0,5x}$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $2$ et $4$. \item \begin{enumerate} \item On considère $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = (- 2x + 8)\text{e}^{0,5x}$. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item On considère $G$ une autre primitive de $f$ sur $\R$. Parmi les trois courbes $C_{1}, C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de $G$. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-11,-5.5)(12,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-11,-4.5)(12,9) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-11,-4)(12,9) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{4.068}{8 2 x mul sub 2.71828 x 2 div exp mul 3 sub} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-11}{12}{x 3 sub 2.71828 x 2 div exp mul 0.5 sub} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=green](-11,0.9)(-4,0.5)(-2,0.25)(-1,0.22)(0,1)(0.37,3)(0.6,4)(1,4.5)(2,3.3)(4,2)(8,1.5)(11.5,1.25) \rput(0,-5){\emph{Figure} 2} \uput[r](4.1,7){\red$C_{1}$}\uput[r](9,1.7){\green$C_{2}$}\uput[ul](-1.9,1.5){\blue$C_{3}$} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}