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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L facultatif}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.

\vspace{0,25cm}

Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition du candidat

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire }\hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur [-1 ; 8] par $g(x) = x^2  - 6 x + 5$ et
 représentée ci-dessous.

\begin{center}\psset{yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(9,22)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-5)(9,22)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(9,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,22)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{8}{x dup mul x 6 mul sub 5 add}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) =  0$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle [- 1 ; 8].
		\item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item La fonction $g$ admet-elle un minimum sur [- 1 ; 8] ?
		\item Vérifier que $g(x)= (x- 1)(x-5)$ pour $x$ appartenant à [- 1 ; 8].
		\item Retrouver le signe de $g(x)$ \^a l'aide d'un tableau.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~8]$ par 

\[f(x) = 0,2x^3 - 1,8x^2 + 3x + 4.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un
 repère orthonormal \Oij~(unité de longueur 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée de $f$ notée $f'$.
\item Vérifier que $f'(x) = 0,6 g(x)$ pour tout $x$ de [- 1 ; 8] ($g$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}).

En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau des variations de la 
fonction $f$ sur [- 1 ; 8].
\item Tracer ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Un hypermarché, à l'occasion de son $25\up{e}$ anniversaire, organise le jeu 
suivant :

 Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse
 un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une
 pellicule grise à gratter.

 Chaque client doit gratter seulement 3 cases.

- si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 euros,

- si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 euros,

- dans tous les autres cas, le bulletin est perdant.

 Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu'un seul bulletin dans cette urne.

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate} 
		\item A \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 euros après un passage  en caisse \fg.
		\item B \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 euros après un passage en caisse \fg.
 	\end{enumerate} 
\item En déduire que la probabilité de l'évènement \og un client ne gagne rien au grattage \fg{} est $\dfrac{3}{4}$.
\item Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu.

Determiner la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d'achats.
\item Pour la loterie, $30\:000$ bulletins ont été déposés dans l'urne. On tire successivement et sans remise 100 bulletins de l'urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d'achat de 100 euros.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité qu'un bulletin déposé dans l'urne soit gagnant lors de ce tirage.
		\item Démontrer que la probabilité qu'un bulletin soit perdant après le grattage et gagnant après le tirage est $\dfrac{1}{400}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une suite}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{1500000}$ et 
$u_{n+1} =  1,013 u_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On pose pour tout entier naturel $n,~ v_n = u_n + 100\:000$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} = 1,013 v_n.$ En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que $u_n = 1\:600\:000 \times  (1,013)^n - 100\:000$.
		\item Calculer $u_{18}$. Le résultat sera arrondi à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

\emph{Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l'entier le plus proche.}

Une étude de la population d'un département laisse appara\^itre les informations suivantes :
 
\begin{itemize}
\item la population est estimée à \np{1500000} habitants en 2002,
\item le taux d'accroissement naturel est de $1,3\:\%$ par an,
\item le flux migratoire (différence entre le nombre de personnes entrant
 dans le département et le nombre de personnes en sortant) est estimé à \np{1300} habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et en 2004.
\item On pose $w_0 =  \np{1500000}$. Pour tout entier naturel $n$, on désigne 
par $w_n$ une estimation du nombre d'habitants de ce département durant 
l'année $(2002 + n)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $w_{n+1} = 1,013 w_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En utilisant la \textbf{partie A}, déduire une estimation de la population de ce  département en 2020.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 200] par 

\[f(x) = \sqrt{100x+ 49}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un
 repère orthonormal \Oij{} (unité : 1 mm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée de $f$, notée $f'$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variations, de la
 fonction $f$ sur [0 ; 200].
\item Tracer ($\mathcal{C}$).
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 130$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

La distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule automobile est fonction de sa vitesse avant le freinage.

En notant $x$ cette distance exprimée en m ($x$ variant de 10 à 200) et $y$
 cette vitesse exprimée en km$\cdot$h$^{-1}$.

Les experts d'assurance automobile estiment que $v =f(x)$ o\`u $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la vitesse d'un véhicule pour lequel une distance de 100 m 
est nécessaire pour s'arrêter ?
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule roulant à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ?
		\item Le code de la route impose un délai de 2 secondes entre chaque véhicule.
		
Ce délai est-il suffisant si le véhicule roule à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ?
 (Justifier votre réponse.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur [-1 ; 8] par $g(x) = x^2  - 6 x + 5$ et
 représentée ci-dessous.

\begin{center}\psset{yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(9,22)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-5)(9,22)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(9,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,22)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue]{-1}{8}{x dup mul x 6 mul sub 5 add}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) =  0$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[- 1~;~8]$.
		\item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item La fonction $g$ admet-elle un minimum sur $[- 1~;~8]$ ?
		\item Vérifier que $g(x)= (x- 1)(x-5)$ pour $x$ appartenant à $[- 1~;~8]$.
		\item Retrouver le signe de $g(x)$ â l'aide d'un tableau.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 1~;~8]$ par 

\[f(x) = 0,2x^3 - 1,8x^2 + 3x + 4.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un
 repère orthonormal \Oij~(unité de longueur 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée de $f$ notée $f'$.
\item Vérifier que $f'(x) = 0,6 g(x)$ pour tout $x$ de [- 1 ; 8] ($g$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}).

En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau des variations de la 
fonction $f$ sur [- 1 ; 8].
\item Tracer ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Un hypermarché, à l'occasion de son $25\textsuperscript{e}$ anniversaire, organise le jeu suivant :

 Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse
 un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une
 pellicule grise à gratter.

 Chaque client doit gratter seulement 3 cases.

- si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 euros,

- si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 euros,

- dans tous les autres cas, le bulletin est perdant.

 Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu'un seul bulletin dans cette urne.

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate} 
		\item A \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 euros après un passage  en caisse \fg.
		\item B \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 euros après un passage en caisse \fg.
 	\end{enumerate} 
\item En déduire que la probabilité de l'évènement \og un client ne gagne rien au grattage \fg{} est $\dfrac{3}{4}$.
\item Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu.

Déterminer la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d'achats.
\item Pour la loterie, $30\:000$ bulletins ont été déposés dans l'urne. On tire successivement et sans remise 100 bulletins de l'urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d'achat de 100 euros.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité qu'un bulletin déposé dans l'urne soit gagnant lors de ce tirage.
		\item Démontrer que la probabilité qu'un bulletin soit perdant après le grattage et gagnant après le tirage est $\dfrac{1}{400}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une suite}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{1500000}$ et 
$u_{n+1} =  1,013 u_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On pose pour tout entier naturel $n,~ v_n = u_n + \np{100000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} = 1,013 v_n.$ En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que $u_n = 1\:600\:000 \times  (1,013)^n - 100\:000$.
		\item Calculer $u_{18}$. Le résultat sera arrondi à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

\emph{Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l'entier
 le plus proche.}

 Une étude de la population d'un département laisse apparaître les informations suivantes :
 
\begin{itemize}
\item la population est estimée à \np{1500000} habitants en 2002,
\item le taux d'accroissement naturel est de $1,3\,\%$ par an,
\item le flux migratoire (différence entre le nombre de personnes entrant
 dans le département et le nombre de personnes en sortant) est estimé à 1\:300 habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans.
\end{itemize}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et en 2004.
\item On pose $w_0 =  1\:500\:000$. Pour tout entier naturel $n$, on désigne 
par $w_n$ une estimation du nombre d'habitants de ce département durant 
l'année $(2002 + n)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $w_{n+1} = 1,013 w_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En utilisant la \textbf{partie A}, déduire une estimation de la population de ce 
département en 2020.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 200] par 

\[f(x) = \sqrt{ 100x+ 49}.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un
 repère orthonormal \Oij~ (unité : 1 mm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée de $f$, notée $f'$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variations, de la
 fonction $f$ sur [0 ; 200].
\item Tracer ($\mathcal{C}$).
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 130$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application}

\medskip

La distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule automobile est fonctio de sa vitesse avant le freinage.

En notant $x$ cette distance exprimée en m ($x$ variant de 10 à 200) et $y$
 cette vitesse exprimée en km$\cdot$h$^{-1}$.

Les experts d'assurance automobile estiment que $v =f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la vitesse d'un véhicule pour lequel une distance de 100 m 
est nécessaire pour s'arrêter ?
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule roulant à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ?
		\item Le code de la route impose un délai de 2 secondes entre chaque véhicule.
		
 Ce délai est-il suffisant si le véhicule roule à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ?
 (Justifier votre réponse.)
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}