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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Amérique du Sud}
\lfoot{\small{Bac L facultatif }}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}
    
\vspace{0,25cm}
    
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat  L Amérique du Sud novembre 2002 \decofourright}} 

\vspace{0,25cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.
\vspace{0,25cm}
\end{center}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

À \og La ferme de la poule pondeuse \fg, chaque jour on produit des {\oe}ufs de deux tailles différentes :

$60\,\%$ des oeufs sont moyens et $40\,\%$ des oeufs sont gros.

Les {\oe}ufs sont classés en deux catégories : ceux de qualité ordinaire et ceux de qualité supérieure.

 On a remarqué que :

$50\,\%$ des {\oe}ufs moyens sont de qualité ordinaire,

$20\,\%$ des gros {\oe}ufs sont de qualité ordinaire.

 On choisit un {\oe}uf au hasard. Le choix au hasard d'un {\oe}uf dans la production du jour signifie qu'on se place dans un modèle avec équiprobabilité. On définit les évènements suivants :

M : \og l'{\oe}uf est moyen \fg,

G : \og l'{\oe}uf est gros \fg,

O : \og l'{\oe}uf est de qualité ordinaire \fg,

S : \og l'{\oe}uf est de qualité supérieure \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités suivantes :

$P$(G), probabilité que l'oeuf soit gros,

P$_{\text{G}}$(S), probabilité que l'{\oe}uf soit de qualité supérieure sachant qu'il est gros.
\item Démontrer que la probabilité de prendre un {\oe}uf gros et de qualité supérieure est égale à $0,32$.
\item Calculer la probabilité $P(\text{M} \cap  \text{S})$ que l'{\oe}uf soit moyen et de qualité supérieure puis la probabilité $P$(S) de l'évènement S.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

On veut résoudre, dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation : 

\[x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0.\]

\textbf{A -- Méthode graphique :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le nombre 2 n'est pas solution de l'équation.
		\item Montrer que, pour $x	\neq 2$, l'équation $x^2 =	\dfrac{4x - 5}{x - 2}$ est équivalente à l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$.
 	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ différent de 2 par $f(x) = \dfrac{4x - 5}{x-2}$.

Sa courbe représentative $\mathcal{H}$ dans un repère orthonormé est donnée en annexe à rendre avec la copie.
	\begin{enumerate} 
		\item Par lecture graphique, indiquer le sens de variations de $f$ sur chacun des intervalles $]- \infty~;~ 2[$ et $]2~;~ +\infty[$.
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ puis justifier le résultat lu dans la question précédente.
 	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. Tracer sa courbe représentative
$\mathcal{P}$ dans le repère utilisé pour utilisé pour $\mathcal{H}$.
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation 
$x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$. Donner la valeur exacte ou une valeur approchée 
à $10^{-1}$ près de chacune de ces solutions.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B - Méthode algébrique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout réel $x~:~ (x - 1) (x^2 - x - 5) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5$.
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x^2 - x - 5$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $h$.
		\item Montrer que $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est la valeur minimum prise par $h$.
		\item On pose $x = \dfrac{1}{2} + u$. Exprimer $h\left(\dfrac{1}{2} + u\right)$ en fonction de $u$~; factoriser l'expression obtenue.
		\item En déduire les valeurs du réel $x$ pour lesquelles $h(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Donner l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 =  0.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{ LE CANDIDAT TRAITERA L'UN DES DEUX EXERCICES 
SUIVANTS} 
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

\medskip

On divise un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux obtenus en traçant les segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central.
Chaque triangle non noirci est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon le même procédé et on noircit le triangle central comme précédemment.

\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,2.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598)
\pspolygon(5,0)(8,0)(6.5,2.598)
\pspolygon*(6.5,0)(7.25,1.299)(5.75,1.299)
\pspolygon(10,0)(13,0)(11.5,2.598)
\pspolygon*(11.5,0)(12.25,1.299)(10.75,1.299)
\pspolygon*(12.25,0)(12.625,0.6495)(11.875,0.6495)
\pspolygon*(11.5,1.299)(11.875,1.9485)(11.125,1.9425)
\pspolygon*(10.75,0)(11.125,0.6495)(10.375,0.6495)
\uput[d](6.5,-0.2){$1^{\text{ère}}$ étape}'
\uput[d](11.5,-0.2){$2^{\text{e}}$ étape}
\end{pspicture}
\end{center}
 	
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Réaliser la $3^{\text{e}}$ étape en partant d'un triangle équilatéral de côté 16 cm. Combien de triangles noircis ont-ils été rajoutés ?
		\item Combien de triangles noircis seront-ils rajoutés à la quatrième étape ?
	\end{enumerate}
\item On note $T_n$ le nombre de triangles noircis rajoutés à la $n$-ième étape où $n$ est un entier supérieur ou égal à 1.

La suite $\left(T_n\right)$, ainsi définie, est une suite géométrique de raison 3.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur de $T_1,~ T_2,~ T_3$.
		\item Exprimer $T_n$ en fonction de $n$. Vérifier les résultats trouvés à la question \textbf{1.}
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre total de triangles noircis après la dixième étape.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Une urne contient 11 jetons (indiscernables au toucher) numérotés de 1 à 11.

On tire simultanément trois jetons de l'urne.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que le nombre de tirages possibles est égal à 165.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de tirages ne comportant que des jetons ayant un numéro impair.
		\item En déduire le nombre de tirages ayant au moins un jeton dont le numéro est pair.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un numéro pair.
		\item Déterminer le nombre de tirages comportant le jeton numéroté 2 et aucun autre jeton ayant un numéro pair. En déduire le nombre de tirages avec un seul jeton portant un numéro pair.
		\item Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un numéro pair est égal à 60.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}