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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat TL Amérique du Nord juin 2000~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip
 
Un disque compact comprenant 8 morceaux est introduit dans le tiroir CD d'une chaîne hi-fi.
 
La touche RANDOM de la chaîne hi-fi permet d'écouter, lorsqu'on sélectionne cette option, les 8 morceaux du disque compact dans un ordre aléatoire.
 
On sélectionne l'option RANDOM et l'on écoute l'enchaînement proposé par la chaîne.
 
\begin{enumerate}
\item  Combien d'enchaînements distincts la chaîne peut-elle présenter ?  
\item  Quelle est la probabilité $p_{1}$ que la chaîne propose l'enchaînement que vous souhaitiez entendre ? 
\item  On note A l'évènement: \og la chaîne propose le morceau \no 8 en première position \fg.
 
Calculer $p$(A). 
\item  On note B l'évènement: \og la chaîne propose le morceau \no 7 en deuxième position \fg.
 
Les événements A et B sont-ils indépendants? 
\item  Le disque compact comprend 3 morceaux du groupe Zebra, 4 de Pierjanjak et 1 du groupe Interphone.
 
On écoute 3 morceaux choisis aléatoirement grâce à la touche RANDOM de la chaîne hi-fi. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $X$ le nombre de morceaux du groupe Zebra présents dans la séquence écoutée.
		 
Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

		\item Montrer que $p(X = 2) = \dfrac{15}{56}$. 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une balle élastique est lâchée d'une hauteur de 100 centimètres au-  
dessus du sol. À chaque rebond, la balle remonte aux $\dfrac{9}{10}$ de la hauteur atteinte précédemment.
 
$h_{0} = 100$. Pour $n$ entier supérieur ou égal à 1, on désigne par $h_{n}$ la hauteur en centimètres atteinte à l'issue du $n$-ième rebond.
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $h_{1},~ h_{2}$.
\item  Exprimer $h_{n + 1}$ en fonction de $h_{n}$ et en déduire la nature de la suite $\left(h_{n}\right)$. 
\item  En déduire la valeur de $h_{n}$ en fonction de $n$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation $100 \times  0,9^x \leqslant 30$.
		\item  À partir de combien de rebonds la balle demeurera-t-elle à moins de 30 centimètres du sol ?
	\end{enumerate} 
\item La balle rebondit trois fois sur le sol.
 
Calculer la distance parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu'au moment où elle touche pour la troisième fois le sol. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction g définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = x^2 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que g est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item  Calculer $g(1)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire du 1. les résultats suivants :
		 
si $x \geqslant  1$ alors $x^2 + \ln x \geqslant  1$.
 
si $0 < x \leqslant  1$ alors $x^2 + \ln x \leqslant  1$.

		\item Déterminer le signe de l'expression $x^2 + \ln x - 1$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.  Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = x + 1 - \dfrac{\ln x}{x}\] 
 
et on appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 2~cm. 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$).

\item  Montrer que $f'(x) = \dfrac{x^2 + \ln x - 1}{x^2}$. 
\item  En utilisant la partie A, donner le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$.
		\item  Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\Delta)$ et préciser les coordonnées de leur point d'intersection I.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point J de la courbe $(\mathcal{C})$ où la tangente (T) est parallèle à la droite $(\Delta)$.
\item Tracer $(\Delta)$, (T) et $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $K$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $K(x) = k(\ln x)^2$, où $k$ est une constante. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $K'(x)$. 
		\item En déduire une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $h$ définie par  
$h(x) = \dfrac{1}{x} \ln x$.
	\end{enumerate} 
\item $\lambda$ est un réel strictement supérieur à 1. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, en unités d'aire, puis en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite $(\Delta)$, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \lambda$.
		\item Pour quelle valeur de $\lambda$ l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ est-elle égale à 8 cm$^2$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}