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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat TL Antilles--Guyane juin 2000~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un gisement de pétrole a produit \np{200000} barils en 1987. On note P $_{n}$ la production de pétrole, exprimée en barils, l'année $1987 + n$ avec $n$ entier positif.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Jusqu'en 1999 inclus, c'est-à-dire pour $n \leqslant 12$, la production $P_{n}$ a diminué régulièrement de \np{2000}~barils par an. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer P$_{1}$ et P$_{2}$.  
\item  Calculer P$_{n}$ en fonction de $n$ pour $n$ entier compris entre 0 et 12.  
\item  Quelle est la production de ce gisement en 1999 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
À partir de l'an 2000 (année 2000 incluse), on prévoit une reprise avec une augmentation de la production de 1,5\,\% par an. 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la production Q$_{0}$ du gisement en l'an 2000 est égale à \np{178640}~barils.
\item Soit Q$_{n}$, avec $n$ entier positif, la production l'année $2000 + n$. Le nombre Q$_{n}$ n'est pas obligatoirement un nombre entier. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(\text{Q}_{n}\right)$ ? 
		\item Exprimer le terme général Q$_{n}$ en fonction de $n$.
		\item À partir de quelle année la production annuelle sera-t-elle supérieure à celle de 1987 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\medskip

20 personnes se rendent à une représentation théâtrale :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  10 personnes ont payé chacune leur billet 75 francs et sont placées au poulailler; 
\item  6 ont payé chacune leur billet 150 francs et sont placées au balcon; 
\item  4 ont payé chacune leur billet 200 francs et ont un fauteuil d'orchestre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  À la sortie on demande à une personne choisie au hasard le prix de son billet.
 
Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée.
 
Soit X la variable aléatoire associant à chaque personne interrogée le prix de son billet. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de X.
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X).
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on interroge trois personnes choisies au hasard et on leur demande le prix de leur billet. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité pour qu'elles aient payé la représentation à trois prix différents.
		\item  Calculer la probabilité pour qu'une au moins ait vu le spectacle assise dans un fauteuil d'orchestre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Probl\`eme} \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 
\[g(x) = x^2  - 8\ln x - 1.\]
 
Le tableau de variations de la fonction $g$ et sa représentation graphique sont donnés ci-dessous.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Une des solutions est entière. Le vérifier par le calcul.
		\item Une autre solution $\alpha$, est comprise entre 2 et 4.
		
Déterminer à l'aide de la calculatrice un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
	\end{enumerate}  
\item Déterminer graphiquement selon les valeurs de $x$ le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[  f(x) = x - 5 + \dfrac{8\ln x}{x} + \dfrac{9}{x}.\] 
 
et $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~centimètre. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		\item Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 5$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$.
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et de la courbe $(\mathcal{C})$.
		 
Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a: 
\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\] 

		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
		\item En utilisant la relation $g(\alpha) = 0$, montrer que $f(\alpha) = 2\alpha + \dfrac{8}{\alpha} - 5$. 
 
En déduire, en utilisant l'encadrement de $\alpha$ de la question 1. 1. 
c. et cette formule, un encadrement de $f(\alpha)$. 

(Toutes les étapes de calcul doivent être détaillées sur la copie).
	\end{enumerate} 
\item Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item  Calculer l'aire en centimètres carrés de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 9$. On justifiera le signe de $f(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $[1~;~9]$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(6,12)
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\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
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\end{center} 
\end{document}