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%tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat L spécialité Antilles--Guyane~\decofourright\\16 juin 2010}} 
    
\vspace{0,25cm}

  L'usage d'une calculatrice est autorisŽé \hfill 3 heures

Ce sujet nŽécessite une feuille de papier millimŽétrŽé

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 6 points}

\medskip

Une urne A contient $100$ boules indiscernables au toucher : $90$ rouges et $10$ noires.

Une urne B contient également $100$ boules indiscernables au toucher: $30$ rouges et $70$ noires.

\smallskip

On réalise l'expérience suivante:

On lance un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le numéro affiché par le dé est 1, on tire une boule dans l'urne A et on note sa couleur.
\item Sinon, on tire une boule dans l'urne B et on note sa couleur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og tirer une boule dans l'urne A\fg{};
\item $B$ l'évènement \og tirer une boule dans l'urne B\fg{};
\item $R$ l'évènement \og tirer une boule rouge \fg{};
\item $N$ l'évènement \og tirer une boule noire\fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

\medskip

% original: "ci-contre"
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=*4cm]
{\Tp}
{
\pstree{\TR{$A$}^{$\cdots$}}{\Tr{$R$}^{$\cdots$} \Tr{$N$}_{$\cdots$}} 
\pstree{\TR{$B$}_{$\cdots$}}{\Tr{$R$}^{$\cdots$} \Tr{$N$}_{$\cdots$}} 
}

\end{center}

\medskip

\item Décrire l'évènement $A\cap R$ et calculer sa probabilité.
\item Montrer que $p(R)=\np{0,40}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la boule obtenue après tirage est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'urne A.
		\item Les évènements $A$ et $R$ sont-ils indépendants~?
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On désire maintenant modifier la composition de l'urne B pour que, lorsqu'on réalise l'expérience décrite ci-dessus, on ait autant de chances d'obtenir une boule rouge qu'une boule noire.

Proposer une composition de l'urne B qui convient. Expliquer la démarche de recherche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
u_{n+1}&=&\np{0,9}u_n+90\\
u_0&=&\np{1000}.
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: 
\[
v_n = u_n - 900.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$ et $v_1$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = \np{0,9}v_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$~? Écrire $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En déduire que pour tout nombre entier $n$, $u_n = 100\times(\np{0,9})^n+ 900$.
\item Quelle est la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini~?
\item À partir de quel nombre entier $n$ a-t-on $u_n\leqslant 901$~?
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=[1~;~7]$ par $

\[f(x)=\dfrac{x^2}{2}-6x+4+8\ln(x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs donné dans \textbf{l'annexe 1}. On donnera des valeurs approchées à $10^{-1}$ près.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, pour $x$ dans l'intervalle $I$.
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$, $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère fourni dans l'annexe 1, construire la courbe $\mathcal{C}_f$ et ses deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur l'intervalle $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\medskip

La \emph{figure 1} représente le dessin en perspective cavalière d'un banc, dont l'assise rectangulaire $ABCD$ est composée de deux carrés de même taille: $AIJD$ et $BCJI$. Le point $K$ désigne le centre du rectangle $ABCD$. Les quatre pieds $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$ du banc ont tous la même longueur.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(12,9)
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,6)(8,6)(11,8)(4,8)
\psline(1,6)(1,1)
\psline(8,6)(8,1)
\psline(11,8)(11,3)
\psline[linestyle=dashed](4,8)(4,6)
\psline(4,6)(4,3)
\psline(1,6)(8,6)
\psline(8,6)(11,8)
\psline(11,8)(4,8)
\psline(4,8)(1,6)
\psline(4.5,6)(7.5,8)
\psdots[dotstyle=*](1,6)(1,1)(8,6)(8,1)(11,8)(11,3)(4,8)(4,3)(4.5,6)(7.5,8)(6,7)
\uput[135](1,6){$A$}
\uput[-135](1,1){$E$}
\uput[-45](8,6){$B$}
\uput[-45](8,1){$F$}
\uput[45](11,8){$C$}
\uput[-45](11,3){$G$}
\uput[135](4,8){$D$}
\uput[-135](4,3){$H$}
\uput[-90](4.5,6){$I$}
\uput[90](7.5,8){$J$}
\uput[135](6,7){$K$}
\end{pspicture*}

\emph{Figure 1}
\end{center}

\emph{Dans toutes les constructions, laisser apparents les traits de construction. Repasser en gras la figure du banc.}

\smallskip

Les images de $A$, $B$, $C$, \ldots dans les représentations en perspective centrale sont notées avec des lettres minuscules : $a$, $b$, $c$, \ldots

$\mathcal{H}$ désigne la ligne d'horizon.

\smallskip

Les points $I$, $B$ et $F$ sont situés dans un plan frontal.

La \emph{figure 2} de \textbf{l'annexe 2} représente le début du dessin de ce même banc dans une perspective centrale. Le point $d_1$ est l'un des points de distance de la perspective.
\begin{enumerate}
\item Construire le point de fuite principal. On le notera $w$.
\item Construire $d_2$, le deuxième point de distance et justifier la construction par une propriété des points de distance.
\item Construire l'image $abcd$ de l'assise $ABCD$ du banc.
\item Construire l'image $k$ du point $K$ puis terminer la construction de la représentation du banc.
\end{enumerate} 

\pagebreak

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline
$f(x)$ (à $10^{-1}$ près) & & &$-\np{0,7}$& & $-\np{0,6}$& \np{0,3} &\\
\hline
\end{tabularx}

\vspace{0.75cm}

\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture*}(-10,-50)(70,40)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-50)(70,40)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,
% échelle originale: 2 cm
algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(7,4)
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}
\vfill
\emph{Figure 2}
\vfill
\vfill
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(12,7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt](-1,6)(12,6)%horizon
\psline[linewidth=1.5pt](1,2)(6,2)(6,-3)
\psline[linewidth=1.5pt](6,2)(7.5,4)
\uput[-135](1,2){$i$}
\uput[-45](6,2){$b$}
\uput[45](7.5,4){$c$}
\uput[-45](6,-3){$f$}
\uput[90](11,6){$d_1$}
\uput[-90](-1,6){$\mathcal{H}$}
\psdots[dotstyle=*](1,2)(7.5,4)(6,2)(6,-3)(11,6)
\end{pspicture}
\vfill
\end{center}
\end{document}