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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Bac L facultatif}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} \textbf{Durée : 3 heures}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  L Antilles-Guyane juin 2002~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

Les trois parties de l'exercice sont indépendantes. Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d'un jeu de cartes.

\textbf{Préliminaire :}

\medskip

Écrire le triangle de Pascal donnant les nombres ${n \choose p}$  pour $n$ inférieur ou égal à 8.

\bigskip

\textbf{ I - Première modalité}

\medskip

On tire simultanément au hasard trois cartes parmi les huit cartes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.
\item Déterminer le nombre de tirages qui comprennent trois rois.
\item Déterminer la probabilité de réaliser, un tirage de trois cartes de même niveau, c'est-à-dire trois rois ou trois dames.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ II. Deuxième modalité :} \emph{on pourra s'aider d'un arbre.}

\medskip

On tire successivement au hasard deux cartes parmi les huit cartes. Le tirage est sans remise.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité de l'évènement R$_1$ \og La première carte tirée est un roi \fg.
\item Sachant que la première carte tirée est un roi, calculer la probabilité d'obtenir encore un roi pour la deuxième carte.
\item Déterminer la probabilité d'obtenir deux rois.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux figures de même niveau, 
c'est-à-dire deux rois ou deux dames ?
\item Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux figures de même 
niveau ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ III. Troisième modalité}

\medskip

On tire une carte que l'on remet dans le paquet de huit cartes avant d'effectuer le tirage suivant. Les tirages sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité d'obtenir un c?ur quand on tire une carte parmi les huit choisies.
\item On effectue quatre tirages successifs.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité $p_1$ d'obtenir quatre fois un coeur.
		\item Déterminer la probabilité $p_2$ d'obtenir exactement deux fois un c{\oe}ur.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner le nombre de tirages nécessaires 
pour que la probabilité de n'obtenir que des c{\oe}urs soit inférieure à 
$10^{-6}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{10}x^3 - 6x^2 +120x \qquad ; \qquad  g (x) = 40 x.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le nombre dérivé $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 
\dfrac{3}{10}(x-20)^2.$
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Calculer $f(10),~ f(20)$ et $f(40)$.
	\end{enumerate}
\item La courbe ($\mathcal{C}_f$) représentative de la fonction $f$ est tracée sur la feuille annexe que l'on remettra avec la copie.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe ($\mathcal{C}_f$) au point A d'abscisse 10.
		\item Tracer sur la feuille annexe la courbe ($\mathcal{C}_g$) représentative de la fonction $g$.
		\item Montrer que la courbe ($\mathcal{C}_f$), la courbe ($\mathcal{C}_g$) et la droite
 T$_{\text{A}}$ se coupent au point d'abscisse 40. En déduire le tracé de la tangente
 T$_{\text{A}}$ que l'on réalisera sur la feuille annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B}

\medskip

Le coût exprimé en euros d'une production est fonction du nombre d'unités 
$x$ fabriquées est égal à $f(x)$ o\`u $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.

On prendra $x$ dans l'intervalle [0 ; 45].

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour $x$ unités produites et vendues 40 euros l'unité, le bénéfice en euros s'exprime par $g(x)-f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sur l'intervalle [0 ; 45].

On fera les traits de construction utiles et on vérifiera que les valeurs 
entières lues sont solutions.
		\item Déterminer l'intervalle auquel doit appartenir le nombre d'unités fabriquées $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{ AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4} \end{center}

\textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill 6 points}

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes. Les résultats demandés seront arrondis au centième.

Pour effectuer un achat dont le coût s'élève à $1\:600$ euros un client a le
 choix entre deux formes de paiement.

\medskip

\textbf{ I.} Dans cette question, le premier versement s'élève à 150 euros et on effectue une suite de versement notée $\left(a_n\right)$ qui vérifie $a_0 = 150$ et, pour tout entier $n$ :  $a_{n+1} = 0,95a_n + 100$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le deuxième versement $a_1$ et le troisième $a_2$.
\item Montrer qu'avec cinq versements, la somme de 1600 euros est remboursée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ II.} Dans cette question, le premier versement s'élève à 200 euros, puis chaque versement est égal au précédent diminué de $5\:\%$.

On note $\left(b_n\right)$ la suite des versements avec $b_0 = 200$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $b_1= 190$ et calculer $b_2$ et $b_3$
\item Exprimer le terme $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.

En déduire la nature de la suite $\left(b_n\right)$ et donner l'expression du terme général $b_n$ en fonction de $n$.
\item  Calculer en fonction de $n$ la somme $S_n$ égale à $b_0 + b_1 + \cdots + b_n$   des $(n + 1)$ premiers versements.

Calculer les sommes $S_8$ et $S_9$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7.
		\item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer un nombre entier naturel congru à $n^3$ modulo 7.
		\item En déduire que $\left(n^3 + 1\right)$ est divisible par 7.
	\end{enumerate}
\item Montrer que si $n$ est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors $\left(n^3 - 1\right)$ est divisible par 7.
\item On considère le nombre A $= 1999^3 + 2007^3$.

Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que A est 
divisible par 7.
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=2mm,yunit=0.02mm}
    
{\large \textbf{Annexe à rendre avec la copie}}
\vspace{1,5cm}
\begin{pspicture}(-15,-2000)(55,4000) 
\psplot{-10}{50}{x 3 exp 0.1 mul x dup mul 6 mul sub 120 x mul add}
\psline[linewidth=2pt]{->}(-15,0)(55,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2000)(0,4000)
\multido{\n=-10+10}{7}{\psline(\n,-2000)(\n,4000)}
\multido{\n=-2000+1000}{7}{\psline(-15,\n)(55,\n)}
\multido{\n=-10+10}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=-2000+1000}{7}{\uput[l](-2,\n){\n}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}