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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Bac L Épreuve facultative}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\medskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Antilles septembre 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill (7 points)}

\medskip

On considère un segment [AB] de longueur 10 centimètres et un point $M$ de
 ce segment, différent de A et B. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
 A$MNP$ est un carré.

L'objectif de l'exercice est de déterminer le point $M$ du segment [AB]
 pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances sont exprimées
 en centimètres.

\bigskip

\textbf{I.} On pose A$M = x$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Faire une figure.
\item Déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour $x$.
\item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$M$.
\item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$N$.

(On rappelle le théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle 
en A on a BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II.} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10]
par
 
\[f(x) = \sqrt{2x^2 - 20x+ 100}.\]

La fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 10] par 

\[f'(x) = \dfrac{2x - 10}{ \sqrt{2x^2 -20x +100}}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10].
		\item Montrer que la fonction $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 10] que l'on précisera.
 	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité un centimètre.
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 8$. On fera apparaître les traits de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solutions lues.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{III.} En utilisant les résultats précédents, déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill (6 points)}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et pour 
tout entier naturel $n,$

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}	u_n - 5.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique? géométrique ? On justifiera les réponses.
 	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier 
naturel $n$ par 

\[v_n = u_n +10.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et calculer le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

 \textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4}

\textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

Une urne contient trois boules vertes, une boule bleue et cinq boules
 rouges.

On tire au hasard simultanément trois boules de cette urne.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le nombre de choix possibles pour ce tirage.
\item On considère les évènements A, B, C et D suivants :

 A : \og Tirer trois boules rouges \fg.

 B : \og Tirer trois boules de la même couleur \fg.

 C : \og Ne tirer aucune boule verte \fg.

 D : \og Tirer au moins une boule verte \fg.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p$(A) de l'évènement A est égale à
$\dfrac{5}{42}$.
		\item Déterminer la probabilité de chacun des événements B, C et D. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
	\end{enumerate} 
\item Un tirage est gagnant si l'on tire trois boules rouges.

On effectue quatre tirages successifs en remettant à chaque fois les trois boules tirées dans l'urne. Tous les tirages sont indépendants.

Déterminer la probabilité d'obtenir exactement trois tirages gagnants.
 On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

On considère les nombres A$ = \np{8387592115}$ et B $= \np{9276312516}$.
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que \np{1000} est divisible par 8.
		\item Montrer que A est congru à 3 modulo 8.
		\item Donner l'entier naturel $b$ strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à $b$ modulo 8.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs
 à 8 qui sont congrus respectivement à A+B et à AB.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que B$^2$ est divisible par 8.
		\item Montrer que A$^2$ n'est pas divisible par 8.
		\item Montrer que A$^{100}$ n'est pas divisible par 8.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}