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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL Asie juin 2000~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Anastase, jardinier amateur, avait une magnifique pelouse de gazon autour  de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans  20\,\% du gazon est détruit pendant l'été et remplacé par du chiendent.
 
Chaque année, à l'automne, il arrache 50 m$^2$ de chiendent et le remplace par du gazon.
 
\emph{Dans tout l'exercice les surfaces seront exprimées en mètres carrés.}

 
\begin{enumerate}
\item  La surface initiale de la pelouse est exprimée par U$_{0}$ et la surface de gazon sans chiendent restant au bout de $n$ années est  exprimée par U$_{n}$.

 Montrer que pour tout entier $n$ on a  U$_{n+1} =  0,8\text{U}_{n} + 50$. 
\item Sachant que U$_{2} = \nombre{1370}$, déterminer la surface initiale de la  pelouse.  
\item On considère la suite $\left(\text{V}_{n}\right)$ définie dans $\N$ par V$_{n}  = \text{U}_{n} - 250$.

 Montrer que la suite $\left(\text{V}_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera  le premier terme V$_{0}$ et la raison.  
\item Exprimer le terme général V$_{n}$  en fonction de $n$, puis U$_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer le nombre d'années pendant lesquelles Anastase garde  
plus du quart de sa pelouse sans chiendent. 
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une caisse contient deux types de tablettes de chocolat : des tablettes de chocolat au lait et des tablettes de chocolat noir.
 
Certaines tablettes contiennent un bon pour recevoir un cadeau :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  parmi les tablettes de chocolat au lait, 12\,\% contiennent un bon ; \item parmi les tablettes de chocolat noir, 15\,\% contiennent un bon.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans la caisse, deux tablettes sur trois sont des tablettes de chocolat au 
lait.
 
On prend au hasard une tablette de chocolat dans cette caisse.
 
Tous les tirages sont équiprobables.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item L : \og la tablette obtenue est une tablette de chocolat au lait \fg{} ;
\item N : \og la tablette obtenue est une tablette de chocolat noir \fg{} ;
\item B : \og la tablette obtenue contient un bon \fg{}.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

 On ne demande pas de valeur approchée des résultats.
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Traduire l'énoncé en terme de probabilités en donnant les probabilités p(L) et p(N) des évènements L et N. 
		\item Donner la probabilité P(B|N) que la tablette  contienne un bon sachant que c'est du chocolat noir, ainsi que la probabilité P(B|L).

	\end{enumerate} 
\item Déterminer la probabilité P$\left(\overline{\text{B}}|\text{N} \right)$ o\`u $\overline{\text{B}}$  représente l'évènement contraire de B.  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité que la tablette obtenue  soit une tablette de chocolat au lait contenant un bon.
		\item Déterminer la probabilité que ce soit une tablette de chocolat noir contenant un bon.
		\item En déduire la probabilité que la tablette obtenue permette de recevoir  un cadeau.
	\end{enumerate} 
\item La tablette obtenue contient un bon. Quelle est alors  la probabilité que ce soit une tablette de chocolat au lait ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{2}{9}x.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un  repère orthogonal \Oij.
 
On prendra pour unités graphiques : 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 10 cm pour une une unité sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\textbf{A. Question préliminaire}

\medskip

 La fonction $g$ est définie sur $\R$ par 
 
 \[g(x) = 2\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $g(x) = \left(2\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} - 2 \right)$.
\item En déduire selon les valeurs de $x$ la signe de $g(x)$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ainsi que la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item  La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. Montrer que pour tout réel $x,~f'(x)$ a le même signe que $g(x)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{9}{2}~;~- 4\right]$. 
		\item  Montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $[-\ln 2~;~+ \ln 2],~f(x)$ est positif.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $\left(D_{1}\right)$ d'équation $y = \dfrac{2}{9}x + 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $- \infty$. Étudier la position relative de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $\left(D_{1}\right)$. 
		\item Montrer que la droite $\left(D_{2}\right)$ d'équation $y = \dfrac{2}{9}x$  est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$.
		
Étudier la position relative de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $\left(D_{2}\right)$·
	\end{enumerate}
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et ses asymptotes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $f(x) = 1 - \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{2}{9}x$.

\item  En déduire la primitive sur $\R$ de la fonction $f$ qui s'annule pour $x$ égal à $0$.
\item  Calculer l'aire en centimètres carrés du domaine du plan compris entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - \ln 2$ et $x = + \ln 2$.
\end{enumerate}
\end{document}