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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\def\({$\displaystyle}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Enseignement de spécialité~\decofourright\\Asie Juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice} 1  \hfill 5 points}

\medskip

Il s'agit de remplir la grille suivante dont chaque case blanche doit contenir exactement un chiffre (entre $0$ et $9$).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour y parvenir, il faut déterminer les quatre nombres entiers correspondants aux définitions ci-dessous. \textbf{Chaque réponse devra être justifiée}.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gristab}}c|*{4}{c|}}\hline
\rowcolor{gristab}&\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}\\\hline
\textbf{1}&&&&\\\hline
\textbf{2}&&&&\\\hline
\textbf{3}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&\\\hline
\textbf{4}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Ligne 1} : Somme des 50 premiers termes de la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_1=4,37$ et de raison $r=0,74$.

\textbf{Ligne 2} : Nombre compris entre 5700 et 7800 et congru à 0 modulo 1134.

\textbf{Ligne 3} : Nombre affiché en sortie de l'algorithme ci-dessous si on le fait fonctionner pour $n=3$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|lcll|}
\hline
Entrée&&\multicolumn{2}{l|}{$a$, $b$, $i$ et $n$ sont des entiers}\\
Initialisation&&\multicolumn{2}{l|}{\quad}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $i$ la valeur $0$}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $a$ la valeur $0$}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Donner à $b$ la valeur $0$}\\
Traitement&&\multicolumn{2}{l|}{\quad}\\
&&\multicolumn{2}{l|}{Tant que $i<n$ :}\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $i$ la valeur $i+1$ ;\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $a$ la valeur $46+a$.\\
&&\multicolumn{1}{l}{$\quad$}&donner à $b$ la valeur $a+b$.\\
Sortie&&\multicolumn{2}{l|}{Afficher $b$.}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Ligne 4} : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}-3(0,5)^n+500$

\item \textbf{Élément de vérification}

On considère la fonction $f$ définie sur$\R$ par $f(x)=\text{e}^{2070x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item Calculer $f'(0)$.\\
\emph{Le nombre de la colonne C est le nombre} $f'(0)$.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 2  \hfill 5 points}

Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,3]$ par $f(x)=-x^2+a+b\ln{x}$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A(1\,;\,1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que pour le nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,3]$, on a : $f(x)=-x^2+2+2\ln{(x)}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Rappeler la valeur de \(\lim_{x\to 0}\ln{(x)}$ et en déduire \(\lim_{x\to 0}f(x)$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,3]$, puis vérifier que $f'(x)= \dfrac{2(1 - x)(1 + x)}{x}$.
		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur l'\textbf{annexe 1} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
\item Le point $B(\sqrt{2}\,;\,\ln{(2)})$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}$ ? Justifier.
		\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $]0\,;\,3]$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 0,01 de la plus grande de ces solutions.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip

Un compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention parmi ses dossiers d'accidents de la circulation.

92\,\% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle et 23\,\% des frais de dommages corporels.

De plus, parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12\,\% entraînent aussi des frais de dommages corporels.

On choisit au hasard un dossier. Tous les dossiers ont la même probabilité d'être tirés.

On note :

$M$ l'événement  : \og{} le dossier choisi entraîne des frais de réparation matérielle\fg.

$C$ l'événement  : \og{} le dossier choisi entraîne des frais de dommages corporels\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les notations $M$ et $C$, exprimer les trois pourcentages de l'énoncé en termes de probabilité ; les résultats seront donnés sous forme décimale.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'événement $M\cap C$ est égale à $0,1104$.
		\item Interpréter l'événement $M\cap \overline{C}$ puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité que le dossier choisi entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il a entraîné des frais de dommages corporels.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

L'assureur sait que 45\,\% des accidents sont dus à des excès de vitesse et que parmi ces dossiers avec excès de vitesse, 30\,\% ont entraîné des dommages corporels.

On choisit au hasard un dossier. Sachant que l'accident correspondant entraîne des frais de dommages corporels, quelle est la probabilité que cet accident soit dû à un excès de vitesse ?

Donner le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice} 4  \hfill 5 points}

\medskip

En Allemagne,  au mois de novembre, la population célèbre traditionnellement la fête de la Saint-Martin. Cela se traduit par des cortèges nocturnes dans les rues accompagnés de chants. Pour cette occasion, chaque écolier fabrique une lanterne. La fête de la Saint-Martin est ainsi également appelée \og{} Fête des Lanternes\fg{}.

 Dans cet exercice, on va s'intéresser à la représentation des lanternes de deux écoliers : Marie et Daniel. Les dessins à compléter en annexe sont \textbf{à rendre avec la copie}.

On laissera apparents les traits de construction.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La \emph{figure 1} représente la lanterne de Marie en perspective cavalière. Cette lanterne a la forme d'un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ ouvert sur le dessus avec un fond $DCGH$ rigide et transparent : ses 4 faces latérales sont également transparentes et ses arêtes sont des tiges de bois rectilignes. Au centre de la face $DCGH$ est fixée une bougie dont la longueur est égale à la moitié de l'arête $[AD]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,6) 
\pstGeonode[PosAngle=-45](2.7,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=0](4.5,0.9){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){D}
\pstTranslation[PosAngle=45]{C}{D}{G}[H]
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4.4){A}
\pstTranslation[PosAngle=90]{D}{C}{A}[B]
\pstTranslation[PosAngle=45]{D}{A}{G}[F]
\pstTranslation[PosAngle=45]{D}{A}{H}[E]
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{H}{C}{o}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{B}{C}{h}
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{h}{o}[O]
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{D}
\pstLineAB{C}{D}
\pstLineAB{A}{E}
\pstLineAB{E}{F}
\pstLineAB{B}{F}
\pstLineAB{G}{F}
\pstLineAB{G}{C}
\pstLineAB[linewidth=1.5pt]{o}{O}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D}{H}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{G}{H}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{E}{H}
\rput(1.6,-0.8){\emph{figure 1}}
\end{pspicture}\end{center}

On veut construire sur le \textbf{dessin n°1 de l'annexe 2} la représentation en perspective centrale de cette lanterne, la face $ABCD$ étant frontale. Les images de points $A$, $B$, $C$, $\cdots$ sont désignées par les lettres minuscules $a$, $b$, $c$, $\cdots$

On a tracé la ligne d'horizon $\mathcal{H}$, le point de fuite principal $\omega$ et un point de distance $d_1$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Construire le deuxième point de distance $d_2$.
		\item Compléter la représentation du pavé droit $ABCDEFGH$.
		\item Terminer cette représentation en y construisant l'image de la bougie dans cette perspective centrale.
	\end{enumerate}
\item Daniel a fabriqué une lanterne de forme cubique $A'B'C'D'E'F'G'H'$. De plus il a choisi de décorer uniquement les deux faces $A'B'C'D'$ et $B'F'G'C'$ en dessinant des carrés identiques dont chaque sommet est le milieu d'une arête et il n'a pas mis de bougie au fond de sa lanterne.\\
La \textbf{figure 2 de l'annexe 2} est une représentation en perspective cavalière de la lanterne de Daniel.\\

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,7) 
\pstGeonode[PosAngle=-45](4.5,0){C'}
\pstGeonode[PosAngle=0](6.4,1.7){G'}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){D'}
\pstTranslation[PosAngle=45]{C'}{D'}{G'}[H']
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4.5){A'}
\pstTranslation[PosAngle=90]{D'}{C'}{A'}[B']
\pstTranslation[PosAngle=45]{D'}{A'}{G'}[F']
\pstTranslation[PosAngle=45]{D'}{A'}{H'}[E']
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{D'}{A'}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{D'}{C'}{K}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C'}{G'}{K'}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C'}{B'}{J}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{B'}{A'}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=85]{B'}{F'}{F}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{G'}{F'}{L'}
\pstLineAB{A'}{B'}
\pstLineAB{C'}{B'}
\pstLineAB{A'}{D'}
\pstLineAB{C'}{D'}
\pstLineAB{A'}{E'}
\pstLineAB{E'}{F'}
\pstLineAB{B'}{F'}
\pstLineAB{G'}{F'}
\pstLineAB{G'}{C'}
\pstLineAB{J}{I}
\pstLineAB{L}{I}
\pstLineAB{J}{K}
\pstLineAB{L}{K}
\pstLineAB{J}{K'}
\pstLineAB{J}{F}
\pstLineAB{F}{L'}
\pstLineAB{K'}{L'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D'}{H'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{G'}{H'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{E'}{H'}
\rput(2.5,-1.2){\emph{figure 2}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le \textbf{dessin \no 2 de l'annexe 2} est la représentation de la lanterne de Daniel en perspective centrale, l'arête $[B'C']$ étant dans le plan frontal. On a tracé la ligne d'horizon $\mathcal{H}$.

Compléter le \textbf{dessin \no 2 de l'annexe 2} par une représentation des décorations de Daniel.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\psset{xunit=4.1cm,yunit=1.78cm,algebraic=true}
    
\begin{pspicture}(-.5,-6.5)(3.4,1.8) 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0185}{3}{-x^2+2+2*ln(x)}
\psaxes[linewidth=1.1pt]{->}(0,0)(0,-6)(3.2,1.5)
\multido{\n=0.2+0.2}{16}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.6pt](\n,-6)(\n,1.5)}
\multido{\n=-6.0+0.2}{38}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.6pt](0,\n)(3.2,\n)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.6pt](0,-4.8)(3,-4.8)(3,0)
\rput(2.7,-2.7){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large{ANNEXE 2 (à compléter et à rendre avec la copie)}}\\
\end{center}

\textbf{Exercice 4}\\

\textbf{dessin 1}\\

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(0,1.5)(18,-9)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(17.1,0)
\psline{|-|}(3.5,0)(8.5,0)
\uput[u](3.5,.2){$d_1$}
\uput[u](8.5,.2){$\omega$}
\uput[u](1,.2){$\mathcal{H}$}
\psline(5.1,-2.5)(7.5,-2.5)(7.5,-7.1)(5.1,-7.1)(5.1,-2.5)
\uput[u](5.1,-2.5){$a$} 
\uput[ur](7.5,-2.5){$b$} 
\uput[ur](7.5,-7.1){$c$} 
\uput[ur](5.1,-7.1){$d$} 
\end{pspicture}

\textbf{dessin 2}\\

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(0,1.5)(14,-9)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(12.3,0)
\uput[u](1,.2){$\mathcal{H}$}
\psline(4,-1.85)(5.38,-3.42)(5.38,-6.7)(4,-3.6)(4,-1.85)
\psline(4,-1.85)(7.6,-.78)(7.6,-1.53)(4,-3.6)
\psline(7.6,-.78)(8.91,-1)(8.91,-1.93)(7.6,-1.53)
\psline(5.38,-3.42)(8.91,-1)
\psline(8.91,-1.93)(5.38,-6.7)
\uput[u](4,-1.85){$a'$} 
\uput[dr](5.38,-3.42){$b'$} 
\uput[dl](5.38,-6.7){$c'$} 
\uput[dl](4,-3.6){$d'$} 
\uput[u](7.6,-0.78){$e'$} 
\uput[ur](8.9,-1){$f'$} 
\uput[ur](8.9,-1.93){$g'$} 
\uput[ur](7.6,-1.53){$h'$} 
\end{pspicture}
\end{document}