\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{multicol} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-3dplot} \usepackage{xkeyval,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P. M. E. P.} \lhead{\small Baccalauréat L spécialité} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat L spécialité ~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de 2000}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2000} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2000} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2000} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{etrangers}{Centres étrangers juin 2000} \dotfill 10 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2000} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2000} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{Metrosep}{Métropole septembre 2000} \dotfill 17\medskip} \newpage ~ \newpage \lhead{\small Bac L spécialité } %%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2000 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL Amérique du Nord juin 2000~\decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.} \medskip Un disque compact comprenant 8 morceaux est introduit dans le tiroir CD d'une chaîne hi-fi. La touche RANDOM de la chaîne hi-fi permet d'écouter, lorsqu'on sélectionne cette option, les 8 morceaux du disque compact dans un ordre aléatoire. On sélectionne l'option RANDOM et l'on écoute l'enchaînement proposé par la chaîne. \begin{enumerate} \item Combien d'enchaînements distincts la chaîne peut-elle présenter ? \item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que la chaîne propose l'enchaînement que vous souhaitiez entendre ? \item On note A l'évènement: \og la chaîne propose le morceau \no 8 en première position \fg. Calculer $p$(A). \item On note B l'évènement: \og la chaîne propose le morceau \no 7 en deuxième position \fg. Les événements A et B sont-ils indépendants? \item Le disque compact comprend 3 morceaux du groupe Zebra, 4 de Pierjanjak et 1 du groupe Interphone. On écoute 3 morceaux choisis aléatoirement grâce à la touche RANDOM de la chaîne hi-fi. \begin{enumerate} \item Soit $X$ le nombre de morceaux du groupe Zebra présents dans la séquence écoutée. Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Montrer que $p(X = 2) = \dfrac{15}{56}$. \item Donner la loi de probabilité de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} Une balle élastique est lâchée d'une hauteur de 100 centimètres au- dessus du sol. À chaque rebond, la balle remonte aux $\dfrac{9}{10}$ de la hauteur atteinte précédemment. $h_{0} = 100$. Pour $n$ entier supérieur ou égal à 1, on désigne par $h_{n}$ la hauteur en centimètres atteinte à l'issue du $n$-ième rebond. \begin{enumerate} \item Calculer $h_{1},~ h_{2}$. \item Exprimer $h_{n + 1}$ en fonction de $h_{n}$ et en déduire la nature de la suite $\left(h_{n}\right)$. \item En déduire la valeur de $h_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $100 \times 0,9^x \leqslant 30$. \item À partir de combien de rebonds la balle demeurera-t-elle à moins de 30 centimètres du sol ? \end{enumerate} \item La balle rebondit trois fois sur le sol. Calculer la distance parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu'au moment où elle touche pour la troisième fois le sol. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip On considère la fonction g définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[g(x) = x^2 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que g est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$. \item Calculer $g(1)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire du 1. les résultats suivants : si $x \geqslant 1$ alors $x^2 + \ln x \geqslant 1$. si $0 < x \leqslant 1$ alors $x^2 + \ln x \leqslant 1$. \item Déterminer le signe de l'expression $x^2 + \ln x - 1$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x + 1 - \dfrac{\ln x}{x}\] et on appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 2~cm. \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$). \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{x^2 + \ln x - 1}{x^2}$. \item En utilisant la partie A, donner le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$. \item Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\Delta)$ et préciser les coordonnées de leur point d'intersection I. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point J de la courbe $(\mathcal{C})$ où la tangente (T) est parallèle à la droite $(\Delta)$. \item Tracer $(\Delta)$, (T) et $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C. Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $K$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $K(x) = k(\ln x)^2$, où $k$ est une constante. \begin{enumerate} \item Calculer $K'(x)$. \item En déduire une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{x} \ln x$. \end{enumerate} \item $\lambda$ est un réel strictement supérieur à 1. \begin{enumerate} \item Calculer, en unités d'aire, puis en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite $(\Delta)$, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \lambda$. \item Pour quelle valeur de $\lambda$ l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ est-elle égale à 8 cm$^2$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2000 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2000%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~ Baccalauréat TL Antilles--Guyane juin 2000 \decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Un gisement de pétrole a produit \np{200000} barils en 1987. On note P$_{n}$ la production de pétrole, exprimée en barils, l'année $1987 + n$ avec $n$ entier positif. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Jusqu'en 1999 inclus, c'est-à-dire pour $n \leqslant 12$, la production $P_{n}$ a diminué régulièrement de \np{2000}~barils par an. \begin{enumerate} \item Calculer P$_{1}$ et P$_{2}$. \item Calculer P$_{n}$ en fonction de $n$ pour $n$ entier compris entre 0 et 12. \item Quelle est la production de ce gisement en 1999 ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip À partir de l'an 2000 (année 2000 incluse), on prévoit une reprise avec une augmentation de la production de 1,5\:\% par an. \begin{enumerate} \item Vérifier que la production Q$_{0}$ du gisement en l'an 2000 est égale à \np{178640}~barils. \item Soit Q$_{n}$, avec $n$ entier positif, la production l'année $2000 + n$. Le nombre Q$_{n}$ n'est pas obligatoirement un nombre entier. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(\text{Q}_{n}\right)$ ? \item Exprimer le terme général Q$_{n}$ en fonction de $n$. \item À partir de quelle année la production annuelle sera-t-elle supérieure à celle de 1987 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip 20 personnes se rendent à une représentation théâtrale : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 10 personnes ont payé chacune leur billet 75 francs et sont placées au poulailler; \item 6 ont payé chacune leur billet 150 francs et sont placées au balcon; \item 4 ont payé chacune leur billet 200 francs et ont un fauteuil d'orchestre. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item À la sortie on demande à une personne choisie au hasard le prix de son billet. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Soit X la variable aléatoire associant à chaque personne interrogée le prix de son billet. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique E(X). \end{enumerate} \item Dans cette question on interroge trois personnes choisies au hasard et on leur demande le prix de leur billet. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour qu'elles aient payé la représentation à trois prix différents. \item Calculer la probabilité pour qu'une au moins ait vu le spectacle assise dans un fauteuil d'orchestre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x^2 - 8\ln x - 1.\] Le tableau de variations de la fonction $g$ et sa représentation graphique sont donnés ci-dessous. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$. \item Une des solutions est entière. Le vérifier par le calcul. \item Une autre solution $\alpha$, est comprise entre 2 et 4. Déterminer à l'aide de la calculatrice un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement selon les valeurs de $x$ le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[ f(x) = x - 5 + \dfrac{8\ln x}{x} + \dfrac{9}{x}.\] et $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~centimètre. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. \item Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 5$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$. \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et de la courbe $(\mathcal{C})$. Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a: \[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\] \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$. \item En utilisant la relation $g(\alpha) = 0$, montrer que $f(\alpha) = 2\alpha + \dfrac{8}{\alpha} - 5$. En déduire, en utilisant l'encadrement de $\alpha$ de la question 1. 1. c. et cette formule, un encadrement de $f(\alpha)$. (Toutes les étapes de calcul doivent être détaillées sur la copie). \end{enumerate} \item Représenter graphiquement la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer l'aire en centimètres carrés de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 9$. On justifiera le signe de $f(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $[1~;~9]$. \end{enumerate} \pagebreak \begin{center} \psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-4)(6,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-4)(6,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridwidth=1.5pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8,subgriddots=8,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](-1,-4)(6,12) \psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2}{5}{x dup mul x ln 8 mul sub 1 sub} \end{pspicture} \vspace{1.5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,2.5) \psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5) \psline(2.1,0)(2.1,2) \uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](5,2){$2$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$} \rput(1,1){$g$} \psline{->}(2.6,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 2000 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%% Asie juin 2000 %%%%%%%% \hypertarget{Asie}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~ Baccalauréat TL Asie juin 2000 \decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Anastase, jardinier amateur, avait une magnifique pelouse de gazon autour de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans 20\:\% du gazon est détruit pendant l'été et remplacé par du chiendent. Chaque année, à l'automne, il arrache 50 m$^2$ de chiendent et le remplace par du gazon. \emph{Dans tout l'exercice les surfaces seront exprimées en mètres carrés.} \begin{enumerate} \item La surface initiale de la pelouse est exprimée par U$_{0}$ et la surface de gazon sans chiendent restant au bout de $n$ années est exprimée par U$_{n}$. Montrer que pour tout entier $n$ on a U$_{n+1} = 0,8\text{U}_{n} + 50$. \item Sachant que U$_{2} = \np{1370}$, déterminer la surface initiale de la pelouse. \item On considère la suite $\left(\text{V}_{n}\right)$ définie dans $\N$ par V$_{n} = \text{U}_{n} - 250$. Montrer que la suite $\left(\text{V}_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme V$_{0}$ et la raison. \item Exprimer le terme général V$_{n}$ en fonction de $n$, puis U$_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer le nombre d'années pendant lesquelles Anastase garde plus du quart de sa pelouse sans chiendent. \end{enumerate} \medskip \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une caisse contient deux types de tablettes de chocolat : des tablettes de chocolat au lait et des tablettes de chocolat noir. Certaines tablettes contiennent un bon pour recevoir un cadeau : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item parmi les tablettes de chocolat au lait, 12\:\% contiennent un bon ; \item parmi les tablettes de chocolat noir, 15\:\% contiennent un bon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans la caisse, deux tablettes sur trois sont des tablettes de chocolat au lait. On prend au hasard une tablette de chocolat dans cette caisse. Tous les tirages sont équiprobables. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item L : \og la tablette obtenue est une tablette de chocolat au lait \fg{} ; \item N : \og la tablette obtenue est une tablette de chocolat noir \fg{} ; \item B : \og la tablette obtenue contient un bon \fg{}. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On ne demande pas de valeur approchée des résultats. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé en terme de probabilités en donnant les probabilités p(L) et p(N) des évènements L et N. \item Donner la probabilité P(B|N) que la tablette contienne un bon sachant que c'est du chocolat noir, ainsi que la probabilité P(B|L). \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité P$\left(\overline{\text{B}}|\text{N} \right)$ o\`u $\overline{\text{B}}$ représente l'évènement contraire de B. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la tablette obtenue soit une tablette de chocolat au lait contenant un bon. \item Déterminer la probabilité que ce soit une tablette de chocolat noir contenant un bon. \item En déduire la probabilité que la tablette obtenue permette de recevoir un cadeau. \end{enumerate} \item La tablette obtenue contient un bon. Quelle est alors la probabilité que ce soit une tablette de chocolat au lait ? \end{enumerate} \medskip \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{2}{9}x.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités graphiques : 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 10 cm pour une une unité sur l'axe des ordonnées. \medskip \textbf{A. Question préliminaire} \medskip La fonction $g$ est définie sur $\R$ par \[g(x) = 2\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 2.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $g(x) = \left(2\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} - 2 \right)$. \item En déduire selon les valeurs de $x$ la signe de $g(x)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ainsi que la limite de $f$ en $- \infty$. \item La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. Montrer que pour tout réel $x,~f'(x)$ a le même signe que $g(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{9}{2}~;~- 4\right]$. \item Montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $[-\ln 2~;~+ \ln 2],~f(x)$ est positif. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\left(D_{1}\right)$ d'équation $y = \dfrac{2}{9}x + 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $- \infty$. Étudier la position relative de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $\left(D_{1}\right)$. \item Montrer que la droite $\left(D_{2}\right)$ d'équation $y = \dfrac{2}{9}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$. Étudier la position relative de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $\left(D_{2}\right)$· \end{enumerate} \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et ses asymptotes. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(x) = 1 - \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{2}{9}x$. \item En déduire la primitive sur $\R$ de la fonction $f$ qui s'annule pour $x$ égal à $0$. \item Calculer l'aire en centimètres carrés du domaine du plan compris entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - \ln 2$ et $x = + \ln 2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Asie juin 2000 \newpage %%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2000 \hypertarget{etrangers}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~ Baccalauréat TL Centres étrangers juin 2000 \decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On désigne par $a,~ b,~ c$ trois nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~4]$ par : $f(x) = ax^2 + bx + c$. Sa représentation graphique $(\Gamma)$ est donnée ci-contre. Les points A et B sont deux points de $(\Gamma)$ ; la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point A passe par le point E$(0~;~- 1)$.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-7)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-7)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{0}{4} {7 x mul x dup mul 2 mul sub 3 sub} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(1,2)(2,3)(0,-3) \uput[ul](0,-1){E} \uput[r](1,2){A} \uput[ur](2,3){B} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique : \begin{enumerate} \item donner l'image par $f$ de $1$, puis l'image par $f$ de $2$ ; \item donner la valeur de $f'(1)$ ; \item déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) > 0$. \end{enumerate} \item Déterminer les trois réels $a,~ b, c$ à l'aide des résultats précédents. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~ 3\right[$ par $g(x) = \ln \left(-2x^2 + 7x - 3\right)$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $g(x) - 2\ln 3 = \ln \left(\dfrac{2}{9}\right)$. \item Résoudre l'équation $g(x) = \ln (3 - x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une association envoie des ours en peluche à un hôpital pour des enfants malades répartis dans deux pavillons. Chaque pavillon reçoit deux cartons A et B. Le carton A contient 5 ours bruns et 5 ours blancs. Le carton B contient 3 ours bruns et 5 ours blancs. \begin{enumerate} \item Dans l'un des pavillons, une infirmière extrait du carton B, simultanément et au hasard, 3 ours pour les enfants d'une même chambre. Calculer la probabilité que : \begin{enumerate} \item Les 3 ours soient de la même couleur. \item L'un au moins des 3 ours soit brun. \end{enumerate} \item Dans l'autre pavillon, un enfant choisit un carton au hasard et prend, toujours au hasard, un ours dans ce carton. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que cet ours soit blanc et provienne du carton A. \item Calculer la probabilité que cet ours soit blanc et provienne du carton B. \item En déduire que la probabilité de choisir un ours blanc est égale à $\dfrac{9}{16}$. \item L'enfant a pris un ours blanc; quelle est la probabilité que cet ours provienne du carton A ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 4 - x- 2\text{e}^{-x}.\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 4$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. \item Préciser la position relative de $(\mathcal{C})$ et (D). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \dfrac{4\text{e}^x - x\text{e}^x - 2}{\text{e}^x}$. \item En déduire la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. (On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$.) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. Donner le sens de variation de $f$. Donner la valeur exacte du maximum de $f$. \item On note A le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $0$. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\beta$, dans l'intervalle $[- 1~;~0]$. \item En expliquant la démarche utilisée, donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$. \end{enumerate} \item Tracer les droites (T) et (D), et la courbe $(\mathcal{C})$. On placera, sur la courbe $(\mathcal{C})$, le point A ainsi que le point B d'abscisse $\beta$. \item En observant le graphique : \begin{enumerate} \item expliquer pourquoi l'équation $f(x) = 0$ admet une autre solution que $\beta$ ; \item indiquer la condition que doit vérifier le réel $m$ pour que l'équation $f(x) = m$ admette deux solutions distinctes. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C } \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(0) = 0$. \item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner la valeur exacte de $I$, puis une valeur décimale approchée de $I$ à $10^{-3}$. \item Interpréter graphiquement. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2000 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2000 \hypertarget{Metropole}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{France}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~ Baccalauréat TL Métropole juin 2000 \decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Une boîte contient $4n$ trombones de deux couleurs différentes : $2n + 1$ sont jaunes et $2n - 1$ sont verts ($n \in \N,~ n \geqslant 1$). On prélève simultanément deux trombones au hasard. \begin{enumerate} \item Dans cette question on suppose que $n = 10$. Calculer la probabilité des évènement suivants (on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième). \begin{enumerate} \item A : les deux trombones sont de couleurs différentes. \item B : les deux trombones sont verts. \item C : les deux trombones sont de même couleur. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n$ désigne un entier quelconque supérieur ou égal à $1$. On note $p_n$ la probabilité de l'évènement \og les deux trombones sont de couleurs différentes \fg{}. \begin{enumerate}\item Montrer que $p_n = \dfrac{4n^2 - 1}{8n^2 - 2n}$. \item On considère la fonction $f$ définie par \[f(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{8x^2 - 2x} \quad \left(x ~\text{réel},~ x \neq 0, x \neq \frac{1}{4}\right),\] dont le tableau de variation est donné ci-après. \begin{center} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(10,4) \psframe(0,0)(10,4) \psline(0,3)(10,3) \psline(1,0)(1,4) \psline(2.9,0)(2.9,3) \psline(3.1,0)(3.1,3) \psline(5.9,0)(5.9,3) \psline(6.1,0)(6.1,3) \uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.25,3){$-\infty$} \uput[u](4.5,3){$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$} \uput[u](3,3){$0$} \uput[u](6,3){$\frac{1}{4}$} \uput[u](8,3){$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$} \uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](9.5,3){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.3){$f(x)$} \rput(1.2,2.6){$\dfrac{1}{2}$} \rput(2.55,0.2){$-\infty$} \rput(3.45,2.6){$+\infty$} \rput(4.3,0.2){$4 + \sqrt{3}$} \rput(5.6,2.6){$+ \infty$} \rput(6.4,0.2){$- \infty$} \rput(7.8,2.6){$4 - 2\sqrt{3}$} \rput(9.65,0.5){$\dfrac{1}{2}$} \psline{->}(1.4,2.5)(2.5,0.3) \psline{->}(3.4,2.5)(4.3,0.6) \psline{->}(4.7,0.6)(5.6,2.5) \psline{->}(6.4,0.5)(7.5,2.5) \psline{->}(8.5,2.5)(9.5,0.3) \end{pspicture} \end{center} En utilisant ce tableau, déterminer l'entier naturel $n$ pour lequel la probabilité $p_n$ est maximale. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une municipalité envisage l'aménagement d'un plan d'eau artificiel. Dans le projet, ce plan d'eau devra contenir \np{30000}~m$^3$ le $1\up{er}$ juillet. On estime qu'en période estivale les pertes hydriques dues à l'évaporation sont de $2\:\%$ par jour. Pour les compenser, on prévoit durant les mois d'été un apport, pendant chaque nuit, de $500$~m$^3$. Le problème est de savoir si les apports prévus pendant les mois de juillet et août seront suffisants pour que le volume ne descende pas en dessous de la valeur critique de \np{27000}~m$^3$. On note $V_n$ le volume d'eau en m$^3$ contenu dans le plan d'eau, selon ce projet, au matin du $n^{\text{e}}$ jour qui suit le $1\up{er}$ juillet. $V_0$ désigne le volume au matin du $1\up{er}$ juillet, on a donc $V_0 = \np{30000}$ ; $V_1$ désigne le volume au matin du 2 juillet, etc. \begin{enumerate} \item Calculer $V_1,~ V_2$ et $V_3$. \item Expliquer pourquoi $V_{n+1} = V_n \times 0,98 + 500$. \item On considère la suite $\left(V_n\right)_{n \in \N}$ définie par la relation de récurrence précédente et ayant pour premier terme $V_0 = \np{30000}$. \begin{enumerate} \item Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse. \item Pour tout entier $n$, on pose $U_n = V_n - \np{25000}$. Démontrer que $\left(U_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire que \[V_n = \np{5000} \times 0,98^n + \np{25000}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(V_n\right)_{n \in \N}$. \end{enumerate} \item Quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquelles $V_n < 27\:000$ ? En déduire la réponse au problème posé en introduction. \end{enumerate} \vspace{1cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~ + \infty[$ par \[f(x) = -x + 4 + \ln \dfrac{x + 1}{x - 1}.\] Le plan étant rapporté à un repère orthonormal \Oij, on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. \begin{enumerate} \item étudier les limites de $f$ en $1$ et en $+ \infty$. \item Montrer que pour tout réel $x$ de $]1~;~ + \infty[$ on a : $f'(x) = - \dfrac{x^2 + 1}{(x + 1)(x - 1)}$ et en déduire le sens de variations de $f$ sur cet intervalle. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite D d'équation $y = -x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. \item Montrer que, pour tout $x$ de $]1~;~+ \infty[,~ \dfrac{x + 1}{x - 1} > 1$ et en déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à D. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}$ où la tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à $- \dfrac{5}{3}$ et donner une équation de cette tangente $\Delta$. \item Montrer que, sur l'intervalle [4~;~5], l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et les droites D et $\Delta$ sur une feuille de papier millimétré (\textsl{on prendra comme unité graphique $2$~cm sur chaque axe}). \item \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]1~;~ + \infty[$ par $h(x) = \ln \dfrac{x + 1}{x - 1}$. Montrer que la fonction $H$ définie sur $]1~;~+ \infty[$ par : \[H(x) = (x + 1) \ln (x + 1) - (x -1) \ln (x - 1)\] est une primitive de $h$ sur cet intervalle. \item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$ (on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Fin Métropole juin 2000 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie juin 2000 \hypertarget{Polynesie}{} \lhead{\small Baccalauréat TL } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~ Baccalauréat TL Polynésie juin 2000 \decofourright} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Pour engager des stagiaires, une entreprise organise des tests de sélection. Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves il y a 60\:\% de garçons. Après avoir pris connaissance des résultats aux tests, l'entreprise engage 70\:\% des garçons candidats et 80\:\% des filles candidates. On choisit au hasard un candidat. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que ce candidat soit un garçon et qu'il soit engagé comme stagiaire ? \item Quelle est la probabilité que ce candidat soit une fille et qu'elle soit engagée comme stagiaire ? \item Calculer la probabilité que ce candidat soit engagé. \end{enumerate} \item Sachant que le candidat choisi a été engagé, calculer la probabilité que ce soit un garçon. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans un pays, le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999 est de $11,7$. Le 1\up{er} août 1999, ce taux passe à $11,6$6. On souhaite étudier deux modèles d'évolution mensuelle du taux de chômage, valables pour une durée de trois ans. \begin{enumerate} \item \textbf{Premier modèle :} On suppose que ce taux diminue régulièrement de 0,04 par mois. On note $u_{0}$ le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999. On note $u_{1}$ le taux de chômage un mois après le 1\up{er} juillet 1999, c'est-à-dire au 1\up{er} août 1999. On note $u_{n}$ le taux de chômage prévu $n$ mois après le 1\up{er} juillet 1999, $n$ désignant un entier naturel. Ainsi on a : $u_{0} = 11,7$ et $u_{1} = 11,7 - 0,04$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2}$. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer le taux de chômage prévu au 1\up{er} juillet 2002, dans ce modèle. \end{enumerate} \item \textbf{Deuxième modèle :} On suppose que chaque mois la baisse du taux de chômage est multipliée par 1,01. On note $v_{0}$ le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999. On note $v_{1}$ le taux de chômage un mois après le 1\up{er} juillet 1999, c'est-à-dire au 1\up{er} août 1999. On note $v_{n}$ le taux de chômage prévu $n$ mois après le 1\up{er} juillet 1999, $n$ désignant un entier naturel. Ainsi, on a : $v_{0} = 11,7$ ; $v_{1} = 11,7 - 0,04$ ; $v_{2} = 11,7 - 0,04 - 0,04 \times 1,01$ ; $v_{n} = 11,7 - \left[0,04 + 0,04 \times 1,01 + ... + O,04 \times (1,01)^{n-1}\right]$, pour tout $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $v_{n} = 15,7 - 4 \times (1,01)^n$. \item Calculer le taux de chômage prévu au 1\up{er} juillet 2002, dans ce modèle. On en donnera un résultat décimal arrondi au centième. \end{enumerate} \item Dans chacun des deux modèles, déterminer à partir de quelle date (arbitrairement fixée au premier jour du mois) le taux de chômage prévu sera inférieur à 11. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ réel par \[f(x) = x - 2 + 2(x + 1)\text{e}^{-x}.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip {\large \textbf{Première partie. Étude d'une fonction annexe}} \medskip Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $g(x) = \text{e}^x - 2x$. \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $g'$ de $g$ ; en déduire les variations de $g$ sur $\R$. \item Établir le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas les limites). \item En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x$ réel. \end{enumerate} \medskip {\large \textbf{Deuxième partie. Étude des variations de} \boldmath $f$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ? On rappelle que : \[\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.\] \item Montrer que la droite (D) d'équations $y = x - 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. \item Préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D). \end{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item On note $f'$ la dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. Montrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$. \item En déduire les variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente $(\Delta)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ est parallèle à (D). \item Tracer (D), $(\Delta)$ et $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip {\large \textbf{Troisième partie. Calcul d'aire}} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (x + 1 )\text{e}^{-x}$. \item Soit $\lambda$ un réel strictement supérieur à 2. On pose $I(\lambda) = \displaystyle\int_{2}^{\lambda} f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{2}^{\lambda} (x- 2)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Interpréter $I(\lambda)$ comme l'aire, exprimée en unité d'aire, d'un domaine plan (E) à définir ; on pourra faire apparaître (E) sur la figure. \item En utilisant les résultats de la question 1 de cette troisième partie, calculer $I(\lambda)$. \item Déterminer la limite de $I(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2000 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole septembre 2000 \hypertarget{Metrosep}{} \lhead{\small France septembre 2000} \lfoot{\small{Bac L facultatif }} \rfoot{\small{septembre 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L France septembre 2000 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \emph{Pour les questions $1$ et $2$ ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On demande à chaque fois d'indiquer laquelle, sans donner de justification.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à chaque lancer, le nom du côté visible (Pile ou Face). Le nombre de résultats possibles est : \[2^6 \qquad 6!\qquad 6^2 \qquad C_6^2.\] \item On prend simultanément deux cartes au hasard parmi six cartes distinctes et on note l'ensemble de deux cartes obtenu. Le nombre de tirages possibles est : \[2^6 \qquad 6!\qquad 6^2 \qquad C_6^2.\] \item Six personnes s'installent sur une rangée de six sièges. Le nombre de dispositions possibles est : \[2^6 \qquad 6!\qquad 6^2 \qquad C_6^2.\] \end{enumerate} \item Une urne contient six boules indiscernables au toucher : trois blanches, deux noires et une rouge. On tire simultanément trois boules de l'urne au hasard. \begin{enumerate} \item La probabilité d'obtenir trois boules blanches est : \[ \dfrac{1}{20} \qquad \dfrac{3}{20} \qquad \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{1}{2}.\] \item La probabilité d'obtenir exactement une boule blanche est : \[\dfrac{1}{6} \qquad \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{9}{20} \qquad \dfrac{1}{20}.\] \item La probabilité d'obtenir au moins une boule blanche est : \[\dfrac{1}{2} \qquad \dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{17}{20} \qquad \dfrac{19}{20}.\] \end{enumerate} \emph{Dans la question} \textbf{3.} \emph{ci-dessous, toutes les réponses devront être justifiées.} \item Un élève a répondu au hasard et de fa\c{c}on indépendante aux six questions précédentes. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il ait au moins une réponse exacte ? \item Quelle est la probabilité qu'il ait exactement cinq réponses exactes. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip La courbe tracée sur la feuille annexe a été tracée à l'aide d'un ordinateur. Elle représente, dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij, une fonction $f$ : $\bullet~$ définie et dérivable sur $]-2~;~+\infty[$, $\bullet~$ monotone sur $]-2~;~0]$ et sur $[0~;~+\infty[$, $\bullet~$ ayant pour limite $- \infty$ quand $x$ tend vers $-2$ et quand $x$ tend vers $+ \infty$. On admet que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A, B et C sont des points de cette courbe, \item[$\bullet~$] la tangente au point A passe par le point E, \item[$\bullet~$] la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Dans cette question, on donnera les résultats sans justification, en s'appuyant sur l'observation du graphique et les indications fournies par le texte. \begin{enumerate} \item Déterminer $f(-1),~f(0),~f(2),~f'(-1)$ et $f'(0)$. \item Donner le signe de $f'(x)$, puis celui de $f(x)$. \end{enumerate} \item On définit sur $]-2~;~+ \infty[$ la fonction $g$ par $g(x) = \left[f(x)\right]^2$. \begin{enumerate} \item Calculer $g(-1),~g(0),~g(2)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -2 \atop x > - 2} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. \item Sachant que $g'(x) = 2f'(x)f(x)$, étudier le signe de $g'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $g$ en indiquant les limites. \end{enumerate} \item Tracer sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, une courbe représentative d'une fonction satisfaisant aux résultats obtenus précédemment pour la fonction $g$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f (x) = x + \dfrac{3}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}= x + 3\text{e}^{-x} - \text{e}^{-2x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire} \medskip La fonction $g$ est définie sur $\R$ par \[g(x) = 1- 3\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-2x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,~ g'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} - 2\right)}{\text{e}^{2x}}$. \item Étudier le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B : étude de la fonction} ~\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x + \text{e}^{-2x}\left(3\text{e}^{x} - 1\right)$, déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - x]$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle $[-1 ~;~ 0]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unité graphique $1$~cm sur chaque axe et on se limitera à l'intervalle $[-1,5 ~;~ 4]$). \item On note $\mathcal{A}_1$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$. On note $\mathcal{A}_2$ l'aire, en cm$^2$, du triangle de sommets O(0 ; 0), M (4 ; 0), N (4 ; 4). \begin{enumerate} \item Vérifier que $\mathcal{A}_2= \displaystyle\int_0^4 x \:\text{d}x$ et en déduire que $\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2 = \displaystyle\int_0^4 [f(x) - x] \:\text{d} x$. \item Déterminer $\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2$ (on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 : courbe représentative de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath \vspace{0,5cm} Les points A, B, C et E ont des coordonnées entières. \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-3,-5)(7,13) \psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,-5)(7,13) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(7,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,13) \psline{<->}(-1,1)(1,1) \psline{<->}(-2,-3)(1,6) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[ul](-1,0){A} \uput[ur](0,1){B} \uput[ur](2,0){C} \uput[dr](0,3){E} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot{-1.582}{7}{x 2 add x 2 exp sub x 2 add div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}