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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL Centres étrangers juin 2000~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.
 
On désigne par $a,~b,~c$ trois nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~4]$ par :
 
$f(x) = ax^2 + bx + c$. Sa représentation graphique $(\Gamma)$ est donnée ci-contre.
 
Les points A et B sont deux points de $(\Gamma)$ ; la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point A passe par le point E$(0~;~- 1)$.} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-7)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-7)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{4}
{7 x mul x dup mul 2 mul sub  3 sub}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(1,2)(2,3)(0,-3)
\uput[ul](0,-1){E} \uput[r](1,2){A} \uput[ur](2,3){B} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  À l'aide du  graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item  donner l'image par $f$ de $1$, puis l'image par $f$ de $2$ ; 
		\item donner la valeur de $f'(1)$ ; 
		\item déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les trois réels $a,~ b, c$ à l'aide des résultats précédents.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~ 3\right[$ par $g(x) = \ln \left(-2x^2 + 7x - 3\right)$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $g(x) - 2\ln 3 = \ln \left(\dfrac{2}{9}\right)$. 
		\item Résoudre l'équation $g(x) = \ln (3 - x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une association envoie des ours en peluche à un hôpital pour des enfants malades répartis dans deux pavillons.

Chaque pavillon reçoit deux cartons A et B.
 
Le carton A contient 5 ours bruns et 5 ours blancs. Le carton B contient 3 ours bruns et 5 ours blancs.
 
\begin{enumerate}
\item  Dans l'un des pavillons, une infirmière extrait du carton B, simultanément et au hasard, 3 ours pour les enfants d'une même chambre.

 Calculer la probabilité que :
  
	\begin{enumerate}
		\item Les 3 ours soient de la même couleur.
		\item L'un au moins des 3 ours soit brun.
	\end{enumerate}
\item Dans l'autre pavillon, un enfant choisit un carton au hasard et prend, toujours au hasard, un ours dans ce carton. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que cet ours soit blanc et provienne du carton A.
		\item Calculer la probabilité que cet ours soit blanc et provienne du carton B. 
		\item En déduire que la probabilité de choisir un ours blanc est égale à $\dfrac{9}{16}$. 
		\item L'enfant a pris un ours blanc; quelle est la probabilité que cet ours provienne du carton A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 4 - x- 2\text{e}^{-x}.\]
 On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.
 
\medskip
  
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.  
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 4$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Préciser la position relative de $(\mathcal{C})$ et (D).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \dfrac{4\text{e}^x - x\text{e}^x - 2}{\text{e}^x}$.
		\item En déduire la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
		
(On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$.) 		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$. Donner le sens de variation de $f$. Donner la valeur exacte du maximum de $f$. 
\item On note A le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $0$.
 
Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\beta$, dans l'intervalle $[- 1~;~0]$.
		\item En expliquant la démarche utilisée, donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}  
\item Tracer les droites (T) et (D), et la courbe $(\mathcal{C})$. On placera, sur la courbe $(\mathcal{C})$, le point A ainsi que le point B d'abscisse $\beta$.
\item En observant le graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item  expliquer pourquoi l'équation $f(x) = 0$ admet une autre solution que $\beta$ ;  
		\item indiquer la condition que doit vérifier le réel $m$ pour que l'équation $f(x) = m$ admette deux solutions distinctes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(0) = 0$. 
\item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $I$, puis une valeur décimale approchée de $I$ à $10^{-3}$.
		\item	Interpréter graphiquement.	 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}