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\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Centres éŽtrangers }
\lfoot{\small{Bac L facultatif }}
\rfoot{\small{ juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽat TL Centres Žétrangers juin 2002~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  8 points}

\begin{center}
Tableau I
\end{center}

\parbox[c]{0.25\textwidth}{
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 1 : fonction $L$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.275}{1.275}{x 3 exp   x 2 exp 3  mul add  2  sub }
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 2 : fonction $M$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.71}{2.71}{x 3 exp  x 2 exp 3 mul sub 3 x mul add 1 sub}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-5)(4,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-5)(4,5)
\rput(0,-6){\footnotesize figure 3 : fonction $P$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.275}{3.275}{x 3 exp x 2 exp 3 mul sub 2 add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,7)
        \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-3)(4,7)
\rput(0,-4){\footnotesize figure 4 : fonction $Q$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.355}{2.195}{x 3 exp 3 x  mul sub 3 add}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

Les courbes figurant dans le tableau 1 sont les repréŽsentations graphiques de quatre fonctions polynô™mes de degréŽ 3 : $L,~ M,~ P,~ Q$.

\begin{center}
Tableau 2
\end{center}

\parbox[c]{0.25\textwidth}{
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,6)
    \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(4,6)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-4)(4,6)
\rput(0,-5){\footnotesize figure 5 : fonction $f$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.635}{2.635}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub }
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 6 : fonction $g$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.635}{0.635}{x 2 exp 3 mul  6 x mul add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-3)(4,7)
\rput(0,-4){\footnotesize figure 7 : fonction $h$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.525}{2.525}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub 3 add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(3,6)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-4)(3,6)
\rput(0,-5){\footnotesize figure 8 : fonction $k$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.735}{1.735}{x 2 exp 3 mul  3  sub}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

Les paraboles figurant dans le tableau 2 sont les repréŽsentations graphiques de quatre fonctions : $f,~g,~h,~k$.

Ces fonctions sont, {\color{red} dans un ordre àˆ dŽéterminer}, les dŽérivŽées des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour chacune des paraboles du tableau 2, donner le signe de
 la fonction repréŽsentéŽe.
		\item Pour chacune des courbes du tableau 1, Žétablir par lecture graphique 
le tableau	de variations de la fonction reprŽésentéŽe. Pour chaque tableau de variation, on indiquera le signe	de la déŽrivŽée de la fonction correspondante (on n'Žétudiera pas les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$).
		\item Pour chacune des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$, préŽciser celle des fonctions, $f,~ g,~ h,~ k$  qui est sa fonction dŽérivéŽe.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ repréŽsentŽe sur la figure 5 est dŽéfinie 
sur $\R$ par $f(x)= 3x^2 + b x + c$ où $b$ et $c$ sont deux
nombres réŽels.
	\begin{enumerate} 
		\item	RŽésoudre graphiquement $f(x) = 0$ et utiliser cette réŽsolution pour calculer $b$ et $c$.
		\item	On note $\mathcal{C}_{P}$ la courbe reprŽésentative de la fonction $P$. Elle a pour éŽquation :

\[y = x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx + d.\]

En utilisant les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{P}$ avec l'axe des ordonnŽées, calculez $d$. Donner l'expression de $P(x)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Pour se rendre ˆ l'arrêt du bus qui passe ˆ 7~h~30 et qui l'amène au lycŽée, ValéŽrie a le choix entre trois itinŽéraires A, B ou C.

La probabilitéŽ qu'elle choisisse l'itinéŽraire A est $\dfrac{1}{2}$, celle qu'elle choisisse l'itinéŽraire B est $\dfrac{1}{3}$.

La probabilitéŽ qu'elle \emph{rate} le bus qui passe àˆ 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinéŽraire A est $\dfrac{3}{10}$, celle
qu'elle rate le bus qui passe àˆ 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinŽéraire B est $\dfrac{2}{5}$, celle qu'elle \emph{rate} le bus qui
passe àˆ 7 h 30 sachant qu'elle a choisi l'itinŽéraire C est $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans cette partie, on donnera les rŽésultats sous forme de
 fraction irrŽéductible.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilitéŽ que ValéŽrie choisisse l'itinéŽraire C.
		\item Construire un arbre de probabilitéŽs donnant les diverses possibilitŽés.

Reporter les probabilitŽés donnŽées dans l'ŽénoncŽé.
		\item Calculer la probabilitŽé que ValéŽrie prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 et qu'elle ait choisi l'itinŽéraire B.
		\item Montrer que la probabilitéŽ que Val鎎rie prenne le bus qui passe ˆ à 7~h~30 est $\dfrac{19}{30}$.
		\item Sachant que ValŽérie a pris le bus qui passe ‰à 7~h~30, calculer la probabilitŽé qu'elle ait choisi l'itinéŽraire C.
 	\end{enumerate} 
\item	Dans cette partie, on donnera les rŽésultats sous forme d'une 
valeur approchéŽe ˆ $10^{-3}$.

ValéŽrie essaie de prendre le bus qui passe àˆ 7~h~30 quatre jours par semaine dans les mêmes conditions.

On suppose que pour ValéŽrie, prendre ou rater le bus qui passe ˆà 7~h~30, un jour donnéŽ dans la semaine est indŽépendant du fait de prendre ou rater le bus qui  passe àˆ 7~h~30 un autre jour dans la semaine.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilitéŽ que ValéŽrie prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 quatre fois dans la semaine.
\item Calculer la probabilitéŽ qu'elle prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 exactement deux fois dans la semaine.

On rappelle la formule donnant la probabilitéŽ de E sachant F : 

\[p_{\text{F}} (\text{E}) = \dfrac{p(\text{E} \cap 
\text{F})}{p(\text{F}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3   au choix  \hfill 6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de dŽémontrer que, pour tout entier naturel $n$ 
entier non nul, le nombre $A = n(n^2-1)$ est un multiple de 6.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans chacun des cas suivants calculer $A$ et dŽéterminer le reste dans la division euclidienne de $A$ par 6.
	\begin{enumerate} 
		\item $n = 5 $ ; 
		\item $n = 16$ ; 
		\item $n = 32$.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que le reste de la division  eucidienne de
 $n$ par 6 est 5 ; on peut donc éŽcrire

\[n \equiv 5 \qquad [\text{mod}~ 6].\]

	\begin{enumerate}
		\item	Que peut-on en conclure pour $(n - 1)$ et $(n + 1)$ ?
		\item	Quel est le reste de la division euclidienne de $(n^2- 1)$ par 6 ?
		\item Justifier alors que $n(n^2 - 1)$ est un multiple de 6.
	\end{enumerate}
\item Recopier et complŽter le tableau.

\begin{center} \begin{tabular}{| c |c |c |c |c |}\hline
Reste de la& Reste de la& Reste de la& Reste de la&	Reste de la\\
division de& division de& division de& division de& division de\\
$n$ par 6&	$(n-1)$ par 6& $(n+1)$ par 6& $(n^2-1)$ par 6&	$n(n^2-1)$ par 
6\\ \hline
0&&&&\\ \hline
1&&&&\\ \hline
2&&&&\\ \hline
3&	2&	4&	2&	0\\ \hline
4&&&&\\ \hline
5&&&&\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\item Conclure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4   au choix  \hfill 6 points}

\medskip

Un jardinier a ˆà sa disposition un sac rempli de \np{1000} bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci :

$60\,\%$ sont des bulbes de tulipe jaune ;

$25\,\%$ sont des bulbes de tulipe rouge ;

le reste est constituŽé de bulbes de tulipe noire.

Par ailleurs :

$28\,\%$ de la totalitéŽ de ces bulbes ne fleuriront pas ;

$80\,\%$ des bulbes de tulipe jaune fleuriront ;

60 bulbes de tulipe noire ne fleuriront pas.

\bigskip
	
\textbf{Partie A}

\medskip

Recopier et compl\`eŽter le tableau ci-dessous

\begin{center}
\begin{tabular}{l | c | c | c | c}
&Nombre de& 	Nombre de&	Nombre de& \\
&bulbes de&	bulbes de&	bulbes de&	Total\\ 
&tulipe jaune& 	tulipe rouge& 	tulipe noire& \\ \hline
Nombre de bulbes de tulipe & & 150&&\\
qui fleuriront&&&&\\ \hline		
Nombre de bulbes de tulipe&&&&\\
 qui ne fleuriront pas&&&&\\ \hline
Total&&&&1000\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard.

On note :

F l'Žévènement : \og Le bulbe fleurira \fg{} ;

J : \og Le bulbe est celui d'une tulipe jaune \fg{} ;

R : \og Le bulbe est celui d'une tulipe rouge \fg{} ;

N : \og Le bulbe est celui d'une tulipe noire \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item DŽéterminer les probabilitéŽs des Žévènements suivants : J ~$\cap$~ F,~ J,~ F, J~$\cup$~F.
\item Les Žévènements J et F sont-ils indŽépendants ? Justifier la réŽponse.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilitéŽ que le bulbe soit celui d'une
 tulipe noire, sachant qu'il fleurira est  $0,125$.
		\item Sachant que le bulbe est celui d'une tulipe noire, dŽéterminer la probabilitéŽ qu'il ne fleurisse pas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On rappelle : 

- la formule donnant la probabilitéŽ de B sachant A : 

$p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})}$

- la déŽfinition de l'indŽépendance de B vis-ˆ-vis de A :
 
$p_{\text{A}}(\text{B}) = p(\text{B})$.
\end{document}