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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L facultatif}
\lfoot{\small{Japon}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L option Japon juin 2002 \decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

Les résultats d'une enquête menée auprès d'une population dont $52\,\%$ des personnes sont des femmes et $48\,\%$ des hommes, montrent que $80\,\%$ des femmes  et $70\,\%$ des hommes jouent au Loto au moins une fois par mois.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On choisit au hasard un individu de cette population. Tous les choix sont équiprobables.

On note :

H l'évènement \og L'individu choisi est un homme.\fg{},

$\overline{\text{H}}$ l'évènement contraire de H, c'est-à-dire \og L'individu choisi est une femme. \fg{},

L l'évènement \og L'individu joue au Loto au moins une fois par mois.\fg{},

$\overline{\text{L}}$ l'évènement contraire de L, c'est-à-dire \og L'individu joue au Loto moins d'une fois par mois.

$p_{\text{H}}(\text{L})$, probabilité conditionnelle de l'évènement L par rapport à l'évènement H.

\emph{On pourra représenter un arbre de probabilités.}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement H ~$\cap~  \overline{\text{L}}$ puis celle de l'évènement $\overline{\text{H}} \cap  \overline{\text{L}}$.
		\item Montrer que la probabilité de L est égale à 0,752.
		\item Déterminer $p_{\text{L}}(\text{H})$, probabilité que l'individu choisi soit un homme sachant  qu'il joue au moins une fois par mois au Loto. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$.
	\end{enumerate} 
\item Cette population étant suffisamment nombreuse, on répète quatre fois,
 de manière indépendante, dans des conditions identiques (ou que l'on peut 
considérer comme telles), l'expérience de la première question \og Choisir au hasard un individu de cette population \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité qu'un et un seul des quatre individus choisis joue au moins une fois par mois au Loto, les trois autres jouant moins d'une fois par mois. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$.
		\item Déterminer la probabilité qu'un, au moins, des quatre individus choisis joue au Loto au moins une fois par mois. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

On considère les fonctions $C$ et $B$ définies sur l'intervalle [0 ; 60] par :

\[C(x)= 450 - 5x \quad ;\quad  B(x)= -x^2 + 55x - 450.\]

\textbf{ Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La fonction dérivée de $B$ est notée $B'$. Calculer $B'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs de $x$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 60].

\item Montrer que $B(x)$ peut s'écrire $(- x + 10) (x - 45)$ et résoudre l'équation
 $B(x) =  0$.
\item D'après les représentations graphiques des fonctions $C$ et $B$ données en annexe, la droite représentant la fonction $C$ semble tangente à la courbe représentant la fonction $B$ au point d'abscisse 30.

Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la 
fonction $B$ au point d'abscisse 30 et justifier la remarque précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un stade peut accueillir \np{50000}~personnes.

On suppose que le prix $x$ exprimé en euros d'un billet est le même pour tous les spectateurs et que le nombre de spectateurs $N(x)$ est fonction du prix du billet.

On estime que $N(x) = \np{50000} - \np{1000}x$.

Organiser un spectacle coûte \np{200000}~euros d'installation auxquels s'ajoutent des frais qui s'élèvent à $5$ euros par spectateur.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dépense totale exprimée en milliers d'euros pour un spectacle est donnée en fonction du prix $x$ d'un billet par $C(x)$.
		\item Montrer que la recette exprimée en milliers d'euros pour un spectacle est donnée en fonction du prix $x$ d'un billet par $50 x - x^2$.
		\item Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros pour un spectacle est donné en fonction du prix $x$ d'un billet par $B(x)$.
\item En exploitant les représentations graphiques données en annexe et les 
résultats de la \textbf{partie A}, déterminer :
	\begin{enumerate} 
		\item le prix du billet correspondant à un bénéfice maximum ; 
		\item les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice est positif ou nul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4}

\medskip

\textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Urbain et Valérie ont obtenu le même diplôme la même année et ont été embauchés,
 tous les deux, le $1\up{er}$ janvier 2000, dans deux entreprises différentes, sous deux contrats à durée indéterminée différents : 

- La première année, le salaire annuel net d'Urbain s'élève à 14\:000 euros et ce salaire augmente de $4\,\%$ chaque année au $1\up{er}$ janvier par rapport au salaire annuel précédent.

 - Valérie débute avec un salaire annuel net de \np{14500} euros et ce salaire augmente de $500$ euros chaque année au $1^{\text{er}}$ janvier. On 
appelle $u_{n}$, le salaire annuel net d'Urbain en euros pour l'année 
$(\np{2000} + n)$ et $v_{n}$, celui de Valérie.

Avec ces notations, on a : $u_{0} = \np{14000}$ et $v_{0}= \np{14500}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$.
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
		\item Exprimer le terme général $u_{n}$, en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les termes $v_{1}$ et $v_{2}$.
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on donnera la raison. 
		\item Exprimer le terme général $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{8}$ et $v_{0} + v_{1} + 
\ldots  + v_{8}$. Interpréter ces résultats.

La situation est-elle la même à la fin de l'année suivante ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Les parties I et II sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{ Partie I -} On considère deux nombres entiers naturels $a$ et $b$ tels que :

$a$ est congru à 10 modulo 23 et 

$b$ est congru à 15 modulo 23.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à $(a + b)$ modulo 23.
\item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à $ab$ modulo 23.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie II -}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à \np{1000} modulo $111$. 
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n, \np{1000}n$ est congru 
à $n$ modulo $111$.

En déduire que le nombre $10^8 + 10^4 + 1$ est divisible par $111$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
    
    \vspace{2cm}
    
\psset{xunit=0.164cm,yunit=0.0125cm}    \begin{pspicture}(-5,-700)(80,500)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-5,0)(80,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-700)(0,500)
\pstextpath[r](0.5,0.5){\psplot{0}{60}{450 5 x mul sub}}{$C(x) = 450 - 
5x~~~~~$}
\pstextpath[r](0.5,0.5){\psplot{0}{60}{55 x mul x dup mul sub 450 
sub}}{$B(x) = - x^2 + 55x - 450~~~~~$}
\multido{\n=0+10}{9}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline(\n,-700)(\n,500)}
\multido{\n=-600+200}{6}{\uput[l](0,\n){\n}}
\multido{\n=-600+200}{6}{\psline(0,\n)(80,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}