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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Baccalauréat L juin 2002}
\lhead{\small{Baccalauréat L facultatif}}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Liban  juin 2002~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Les exercices 1 et 2 sont obligatoires. Ie troisième exercice est à choisir parmi les exercices 3 et 4.
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Dans une classe composée de dix filles et huit garcons, on forme des groupes en choisissant au hasard trois élèves.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est Ie nombre de groupes possibles ?
\item Déterminer
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité pour que les trois élèves choisis soient trois filles,
		\item la probabilité pour que l'un au moins des huit garcons soit choisi.

Ces deux résultats seront donnés sous forme de fraction simplifiée.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité pour que le groupe soit mixte (c'est-à-dire comprenne au moins une fille et au moins un garçon) est égale à $\dfrac{40}{51}$.
\item On forme un tel groupe de trois élèves, lors de chacun des trois trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut être donc désigné plusieurs fois.

Calculer à  0,001 près, la probabilité pour qu'au cours d'une année scolaire, il y ait exactement deux groupes mixtes parmi les trois formés.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Un rectangle ABCD a pour périmètre 10 cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on pose AB = $x$ (cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans quel intervalle fermé le réel $x$ peut-il varier ?
\item Exprimer l'aire $S(x)$ du rectangle ABCD en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x)  = - x^2 + 5x .\]

\begin{enumerate}
\item En faisant appel à sa fonction dérivée $f'$, dresser Ie tableau de variations de $f$.
\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est maximale.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité : 2 cm sur chaque axe), tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ sur l'intervalle [0 ; 5].
		\item Sur la même figure qu'au \textbf{3. a.} tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On considère Ie nombre entier A = $18^{\np{2002}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item A est-il divisible par 9 ? Par 4 ? (Justifier les réponses)
\item On cherche a obtenir le reste de la division euclidienne de A par 7, en utilisant des congruences.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'entier $r$ verifiant $0  \leqslant r < 7$ et $18 \equiv r \quad (\text{modulo}  7)$.
		\item Quel est Ie plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $r^n \equiv 1 \quad (\text{modulo}  7)$ ?
		\item Prouver que pour tout nombre entier naturel $k,~ 4^{3k}$  est congru a 1 modulo 7.
		\item En déduire Ie reste de la division euclidienne de A par 7.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\np{2002}^{18}$ est divisible par 13.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une suite}

\medskip

La suite $(u_{n})$ est définie sur $\N$ par la donnée de son premier terme $u_{0} = 800$ et la relation de récurrence
$u_{n+1} = 0,6 u_{n} + 400$.

\begin{enumerate}\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item On définit une autre suite $(v_{n})$ sur $\N$ en posant pour tout entier naturel \\$n,~ v_{n} = \np{1000} - u_{n}$.

\begin{enumerate}\item Calculer les trois premiers termes de cette suite $(v_{n})$.

\item Montrer que cette suite $(v_{n})$ est geometrique et en déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des résultats précédents que $u_{n} = \np{1000} - 200 \times  (0,6)^n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $(u_{n})$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : application}

\medskip

Le président d'une association culturelle constate que chaque année l'association garde $60\,\%$ de ses anciens adhérents et que $400$ personnes nouvelles adhèrent. On suppose que ces données chiffrées restent les mêmes au fil des ans.

 À la création de cette association, en janvier 2001, il y avait $800$ adhérents.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre des adhérents en janvier 2002.
\item Quel sera le nombre d'adhérents en janvier 2003 ?
\item En quelle année verra-t-on pour la première fois l'effectif de l'association dépasser $990$ ?
\end{enumerate}
\end{document}