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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~ Baccalauréat TL Polynésie juin 2000 \decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
  
Pour engager des stagiaires, une entreprise organise des tests de sélection. Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves il y a 60\,\% de garçons. Après avoir pris connaissance des résultats aux tests, l'entreprise engage 70\,\% des garçons candidats et 80\,\% des filles candidates.
 
On choisit au hasard un candidat. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que ce candidat soit un garçon et qu'il soit engagé comme stagiaire ?
		\item Quelle est la probabilité que ce candidat soit une fille et qu'elle soit engagée comme stagiaire ?
		\item Calculer la probabilité que ce candidat soit engagé.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que le candidat choisi a été engagé, calculer la probabilité que ce soit un garçon.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un pays, le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999 est de $11,7$.

Le 1\up{er} août 1999, ce taux passe à $11,6$6.
 
On souhaite étudier deux modèles d'évolution mensuelle du taux de chômage, valables pour une durée de trois ans. 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Premier modèle :}

On suppose que ce taux diminue régulièrement de 0,04 par mois.

On note $u_{0}$ le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999.
  
On note $u_{1}$ le taux de chômage un mois après le 1\up{er} juillet 1999, c'est-à-dire au 1\up{er} août 1999.
 
On note $u_{n}$ le taux de chômage prévu $n$ mois après le 1\up{er} juillet 1999, $n$ désignant un entier naturel.
 
Ainsi on a : $u_{0} = 11,7$ et $u_{1} = 11,7 - 0,04$.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_{2}$. 
		\item  Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item  Calculer le taux de chômage prévu au 1\up{er} juillet 2002, dans ce modèle. 
	\end{enumerate}

\item  \textbf{Deuxième modèle :}
 
On suppose que chaque mois la baisse du taux de chômage est multipliée par 1,01.
 
On note $v_{0}$ le taux de chômage au 1\up{er} juillet 1999.
 
On note $v_{1}$ le taux de chômage un mois après le 1\up{er} juillet 1999, c'est-à-dire au 1\up{er} août 1999.
 
On note $v_{n}$ le taux de chômage prévu $n$ mois après le 1\up{er} juillet 1999, $n$ désignant un entier naturel.
 
Ainsi, on a : $v_{0} = 11,7$ ;
 
$v_{1} = 11,7 - 0,04$ ;
 
$v_{2} = 11,7 - 0,04 - 0,04 \times 1,01$ ;

$v_{n} = 11,7 - \left[0,04 + 0,04 \times 1,01 + ... + O,04 \times (1,01)^{n-1}\right]$, pour tout $n \geqslant  1$.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $v_{n} = 15,7 - 4 \times  (1,01)^n$.
		\item Calculer le taux de chômage prévu au 1\up{er} juillet 2002, dans ce modèle. On en donnera un résultat décimal arrondi au centième.
	\end{enumerate} 
\item Dans chacun des deux modèles, déterminer à partir de quelle date (arbitrairement fixée au premier jour du mois) le taux de chômage prévu sera inférieur à 11.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ réel par 
\[f(x) = x - 2 + 2(x + 1)\text{e}^{-x}.\]

 On désigne par $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 
 
\medskip
 
{\large \textbf{Première partie. Étude d'une fonction annexe}}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $g(x) = \text{e}^x - 2x$. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $g'$ de $g$ ; en déduire les variations de $g$ sur $\R$.  
\item Établir le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas les limites).  
\item En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x$ réel.
\end{enumerate}

\medskip

{\large \textbf{Deuxième partie. Étude des variations de} \boldmath  $f$ \unboldmath}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ? On rappelle que :
		 
\[\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.\]
 
		\item Montrer que la droite (D) d'équations $y = x - 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. 
		\item Préciser la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$. Montrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$.
		\item En déduire les variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la tangente $(\Delta)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ est parallèle à (D).
		\item Tracer (D), $(\Delta)$ et $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
  
{\large \textbf{Troisième partie. Calcul d'aire}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ définie sur $\R$ par 

$H(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

$h(x) = (x + 1 )\text{e}^{-x}$. 
\item  Soit $\lambda$ un réel strictement supérieur à 2. 
 
On pose $I(\lambda) = \displaystyle\int_{2}^{\lambda} f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{2}^{\lambda} (x- 2)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Interpréter $I(\lambda)$ comme l'aire, exprimée en unité d'aire, d'un domaine plan (E) à définir ; on pourra faire apparaître (E) sur la figure. 
		\item En utilisant les résultats de la question 1 de cette troisième partie, calculer $I(\lambda)$.
		\item Déterminer la limite de $I(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}