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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L facultatif}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L option Polynésie juin 2002~\decofourright}} 

\vspace{0,25cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.
\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij~ (unité graphique : 1 cm).

\medskip

\textbf{A -} On considère une fonction $g$ définie sur $\R$ et on appelle 
$\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère 
orthonormal. Le graphique ci-dessous représente la courbe $\mathcal{C}_g$ 
de la  fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(-4,-5)(5,3)
\psaxes(0,0)(-4,-5)(5,3)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.195}{3.195}{x 2 add x dup mul sub}
\uput[u](4.8,0){$x$} \uput[r](0,2.8){$y$} 
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Utiliser le graphique pour déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire le sens de variations de la fonction $g$.
\item Justifier que $g$ possède des extremums ; pour quelles valeurs de $x$
 sont-ils atteints ?
\item Existe-t-il des points de la courbe en lesquels la tangente a un coefficient directeur égal a $- $4 ?

Déterminer alors l'abscisse du ou des point(s) correspondant(s).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B -} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = -x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 6x - 2.\]

On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x$ :

\[f'(x) = 3(x + 1)(2 - x).\]

		\item Indiquer le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Vérifier que $f'(x)$ et $g'(x)$ ont le même signe.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ (on ne demande pas d'étudier les limites en $+ \infty$  ou en $- \infty$.
 	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ pour $x$ appartenant à  l'intervalle 
$[-2,5~;~3,5]$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une  source sonore émet un son dont l'intensité est \np{1000} décibels.

 Une plaque d'isolation phonique d'un certain type absorbe $45\:\%$ de l'intensité
 du son.

 On note $U_n$ l'intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de $n$ plaques d'isolation phonique.

Ainsi $U_0 =  \np{1000}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $U_1,~ U_2,~ U_3$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel
$n,~U_{n+1} = 0,55U_n$.
		\item En déduire que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

Donner l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la limite de $U_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.

Interpréter le résultat obtenu.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le nombre minimum de plaques que doit traverser le son pour que l'intensité soit inférieure au dixième de sa valeur initiale.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3  au choix}  \hfill 8 points}

\medskip

Sur le catalogue d'une entreprise de vente par correspondance, la référence de chaque article et constituée d'un nombre à cinq chiffres $xyztu$ (le premier de ces chiffres $x$ étant différent de zéro), suivi d'une lettre majuscule choisie entre A et N, à l'exception de la lettre I.

À Cette lettre majuscule est associé un nombre appelé clé selon le tableau 
suivant :

\begin{center} 
\begin{tabular}{| *{14}{c|}}\hline
lettre & A&B&C &D&E&F&	G&H&J&	K&	L& 	M&N\\ \hline
clé&0&1&2& 3&4&5&6&7&8&		9&10&11 &12\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

À des fins du contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du nombre à cinq chiffres et de la clef obtenue grâce au tableau, soit un nombre divisible par 13.

Par exemple considérons un article dont la référence est \np{18501} M.

Le nombre à cinq chiffres est \np{18501}. La clé associée à M est 11. 

$\np{18501}  + 11 = \np{18512} = 13 \times \np{1424}$.

\np{18512} est divisible par 13,  donc cette référence est correcte.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Les deux références suivantes sont-elles correctes ?

\np{13587}M \hspace{2cm}	\np{45905} A

 Les réponses doivent être justifiées.

\item On veut retrouver la lettre d'une référence dont il ne reste que le nombre à cinq chiffres $26\:014$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $13 \times 2001 < \np{26014} < 13 \times \np{2002}$.
		\item En déduire la lettre manquante.
	\end{enumerate}
\item On veut retrouver un chiffre illisible dans la référence d'un article.

Cette référence est $85\:z29$ C ($z$ étant le chiffre illisible).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le problème revient à trouver $z \quad (0 \leqslant z \leqslant  9)$ tel que :

\[8 \times 10^4 + 5 \times 10^3 + z \times 10^2 + 2 \times 10 + 9 + 2 \equiv 
0 \quad  (\text{modulo} \quad  13)\]

Cette relation sera notée (E) dans toute la suite.
		\item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide d'entiers naturels compris entre 0 et 12.

$\fbox{10^0 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}\fbox{10^1 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$

$\fbox{10^2 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$
$\fbox{10^3 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$

$\fbox{10^4 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$
		\item En utilisant les propriétés des congruences et les résultats obtenus dans le tableau précédent, montrer que le problème revient à trouver $z \quad (0 \leqslant z \leqslant  9)$ tel que : $11 + 9z  \equiv 0 \quad  
(\text{modulo}\, 13)$.
		\item Déterminer le chiffre illisible de la référence.

Écrire alors cette référence.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{ Exercice 4  au choix}  \hfill 8 points}

\medskip

Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

Une série qualificative pour une course internationale réunit six concurrents :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item deux français portant les dossards 32 et 33 ;
\item trois italiens portant les dossards 34, 35, 36 ;
\item un allemand portant le dossard 37.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Seules les deux premières places sont qualificatives. Le résultat de la série est représenté par les dossards des concurrents classés aux deux premières places. On obtient ainsi un couple. Par exemple le couple (32, 36) représente le résultat suivant : le concurrent classé premier porte le dossard 32, le concurrent classé deuxième porte le dossard 36.

On décrit les résultats possibles de la série à laide de l'arbre ébauché dans le schéma ci-dessous :

\psset{tnpos=a,radius=1pt}
\pstree[linecoor=red,treemode=R,levelsep=2cm,treesep=0.37cm]{\Tr}{\pstree{\Tr{32}}
			    	{\Tr{33} 
				\Tr{34}
				\Tr{35}
				\Tr{36}
				\Tr{37}}
		\pstree{\Tr{33}}      
		{		\Tr{32} 
				\Tr{34}
				\Tr{35}
				\Tr{36}
				\Tr{37}}
		\pstree{\Tr{34}}	
		{		\TR{32} 
				\TR{33}
				\TR{35}
				\TR{36}
				\TR{37}}
		\psset{linestyle=dashed}
		\pstree{\Tr{35}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{} \Tr{} \Tr{} }
		\Tr{36}
		\Tr{37}
              	}	
		
\begin{enumerate} 
\item Reproduire le schéma sur la copie et le 
compléter.

Quel est le nombre de résultats possibles ?
\item Tous les coureurs sont de niveaux sportifs sensiblement égaux et ont le même espoir de qualification.
 
On considère les évènements suivants :

A :  \og les deux qualifiés sont italiens \fg.

B : \og les deux qualifiés portent un dossard pair \fg.

	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que la probabilité de chacun des évènements A et 
B est $\dfrac{1}{5}$.
		\item On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A et $\overline{\text{B}}$	 l'évènement contraire de B.
		
Expliciter, par une phrase, chacun des évènements $\overline{\text{A}}$ et
$\overline{\text{B}}$.

Calculer leur probabilité.
		\item On note A $\cap$ B l'intersection des évènements A et B,~
A $\cup$ B leur réunion.

Expliciter, par une phrase, l'évènement A $\cap$ B, puis
calculer sa probabilité.

En déduire la probabilité de l'évènement A $\cup$ B.
\end{enumerate}

\item On considère les évènements suivants :

G : \og les deux qualifiés sont de la même nationalité \fg.

H : \og les deux qualifiés portent des dossards congrus modulo 3 \fg.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements G et H.
		\item Expliciter. par une phrase, l'évènement G $\cap$ H.

En déduire la probabilité de l'évènement G $\cup$ H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}