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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{6 juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Polynésie juin 2006~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
 
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
 
On note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $i$ pour $i \in  \{1~;~2~;~3~;~4\}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $p_{i}$ en fonction de $i$ puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\dfrac{3}{5}$.
\item On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10\,\%. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de $11$ euros. La mise minimale est de $20$ euros.

\medskip

Un joueur décide de faire trois parties successives :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item il mise cent euros pour la première partie ;
\item pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
\item pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies â un euro près, 133~euros, 110~euros, 109~euros, 108~euros, 88~euros, 87~euros, 86~euros et 67~euros.
		\item Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à $\dfrac{18}{125}$.
		\item Calculer la probabilité de chacun des quatre évènements qui conduisent à une perte.
		\item Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Indication : pour la question $2$, on pourra s'aider d'un arbre}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x - 2x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
\item En déduire que pour tout réel $x$ de $\R,~ g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x - x^2\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$    en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.

Pour la limite en $+ \infty$ on pourra remarquer que pour $x$ non nul $f(x)$ peut s'écrire : $x^2 \left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2} - 1\right)$.
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$, puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de $f$.
\item On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(- 1)$ et $f(0)$.
		\item Montrer que la solution de l'équation $f(x) =  0$ est unique et qu'elle appartient à l'intervalle $[-1~;~0]$.
		\item En utilisant une calculatrice pour calculer $f(x)$ pour différentes valeurs de $x$, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette solution.
		
Justifier la valeur retenue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide
\begin{enumerate}
\item Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ;  L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].

On pose OJ $= r$ ; IL $= h$ et $t = \dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}}$.
\item Calculer :
	\begin{enumerate}
		\item La longueur JL en fonction de $r$. 
		\item La longueur IJ en fonction de $r$ et de $h$.
		\item En déduire la valeur de $t$ en fonction de $r$ et $h$.
		\item L'aire du triangle OUI en fonction de $r$ et $h$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :

\[\dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2 +r^2}}{r} \quad (1)\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $t^2- 1$.
		\item En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : $t^2- t -1 = 0 \quad (2)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\left(t - 	\dfrac{1}{2}\right)^2 -	\dfrac{5}{4}	= t^2 - t - 1$.
		\item En déduire les solutions de l'équation (2).
		\item Quel nom porte la seule solution possible ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Un globe-trotter a parié de parcourir \np{5000} km â pied.

Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1\,\% tous les jours.

On notera $d_{n}$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d_{1},~ d_{2},~  d_{3}$ parcourues durant les trois premiers jours.
\item Expliquer pourquoi $d_{n+1} = 0,99d_{n}$.
En déduire la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$ et l'expression de $d_{n}$ en fonction de $n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $n$, le nombre total $L_{n}$ de kilomètres parcourus au bout de $n$ jours.
		
$\left(L_{n} = d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{n}\right)$.
		\item En déduire la limite de $L_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty.$
		
Le globe-trotter peut-t-il gagner ?
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours $N$ qui lui seraient nécessaires pour parcourir \np{4 999} km.
\end{enumerate}

\bigskip

On rappelle que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$ est :

\[S = u_{1} +u_{2} +  \cdots + u_{n} = n \dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}\]

\item La somme $S'$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(v_{n}\right)$ de raison $q~ (q \neq 1)$ est :

\[S' = v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n}  = v_{1}\dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(5.7,0)(3.9,4.5)(0,0)(5.7,0)(7.7,1.68)(3.9,4.5)%OIAOUI
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1.68)(7.7,1.68)
\psline[linestyle=dashed](2,1.68)(3.9,4.5)
\psset{linewidth=2pt}
\psline[linestyle=dotted](0,0)(7.7,1.68)
\psline[linestyle=dotted](5.7,0)(2,1.68)
\psline[linestyle=dotted](3.9,4.5)(3.88,0.8)
\uput[dl](0,0){A}  \uput[dr](5.7,0){O} \uput[r](7.7,1.68){U}
\uput[ul](2,1.68){T} \uput[r](3.88,2.6){h} \uput[u](3.9,4.5){I} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 