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% Tapuscrit Claire Lacaze
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Polynésie juin 2008}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 4 points}

\medskip

Pour un jeu, on dispose de deux urnes.

La première urne contient 6 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 6 lettres permettant de reconstituer le prénom MARGOT.

La seconde urne contient 7 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est écrite une lettre, les 7 lettres permettant de reconstituer le prénom JUSTINE.

Le jeu se déroule en deux étapes :
 
étape 1 : On prend au hasard une boule de la première urne et on regarde la lettre tirée.

étape 2 : 
 
- Si la lettre tirée est une voyelle, on tire au hasard la deuxième boule dans la première urne, \textbf{la première boule tirée n'étant pas remise en jeu}. On regarde la seconde lettre tirée.

- Si la lettre tirée est une consonne, on tire au hasard la deuxième boule dans la deuxième urne. On regarde la seconde lettre tirée.

\medskip

On considère les deux évènements :

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $V_1$ \og la première lettre tirée est une voyelle\fg{} ;
\item [$\bullet$] $V_2$ \og la deuxième lettre tirée est une voyelle\fg.\\
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la première lettre tirée soit une voyelle.
\item Calculer la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle sachant que la première est une consonne.
\item Reproduire et compléter l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=3mm]{\TR{}}%
{
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=1.5mm]{\Tr{$V_1$}} {\Tr{$V_2$} \Tr{$\overline{V_2}$}}
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{$\overline{V_1}$}} {\Tr{$V_2$} \Tr{$\overline{V_2}$}}
}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que la deuxième lettre tirée soit une voyelle est $\dfrac{37}{105}$.
\item On suppose que la deuxième lettre est une voyelle.\\
Quelle est la probabilité que la première lettre tirée soit une voyelle ?\\
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}$ pour tout nombre réel $x$ de $[0\,;\,+\infty[$.

On note $(C)$ sa courbe représentative dans le repère $(Ox,Oy)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et justifier que $f(\ln{3})=0,8$.
\item 
	\begin{enumerate}[a)]
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Démontrer que pour réel $x$ positif, $f'(x)=\dfrac{4\text{e}^{2x}}{(\text{e}^{2x}+1)^2}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
		\item Calculer $f'(0)$, puis donner une équation de la tangente $(\Delta )$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Établir que, pour tout nombre réel $x$ positif, $f(x)-1=\dfrac{-2}{\text{e}^{2x} + 1}$.
		\item En déduire que, pour tout nombre réel $x$ positif,  $f(x)<1$.
	\end{enumerate}
\item Les quatre graphiques ci-dessous ont été obtenus à l'aide d'un logiciel informatique.

Parmi ces quatre graphiques, un seul peut représenter la courbe $(C)$ et la tangente $(\Delta)$.

Préciser quel est ce graphique et justifier soigneusement l'élimination de chacun des trois autres graphiques.

\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
\begin{center} 
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.7,-2)(3,1.2)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-0.7,-1.6)(2.5,1)
\pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,-1.6)(\n,1)}
\multido{\n=-1+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.7,\n)(2.7,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.4}{-(2.71828^(2*x)-1)/(2.71828^(2*x)+1)}
\rput(2.8,0.1){$x$}
\rput(0.1,1.1){$y$}
\rput[d](1,-0.15){\textbf{$1$}}
\rput[d](2,-0.15){\textbf{$2$}}
\rput[l](-0.1,-1){\textbf{$-1$}}
\psline(0,0)(1,-1)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
\begin{center} 
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.7,-1)(3,2.2)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-0.7,-0.6)(2.5,2)
\pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,-0.6)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.7,\n)(2.7,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.4}{(2.71828^(2*x)-1)/(2.71828^(2*x)+1)}
\rput(2.8,0.1){$x$}
\rput(0.1,2.1){$y$}
\psline(0,0)(1,1)
\rput[d](1,-0.15){\textbf{$1$}}
\rput[d](2,-0.15){\textbf{$2$}}
\rput[l](-0.1,1){\textbf{$1$}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.7,-1)(3,2.2)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-0.7,-0.6)(2.5,2)
\pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,-0.6)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.7,\n)(2.7,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.4}{(2.71828^(4*x)-1)/(2.71828^(4*x)+1)}
\rput(2.8,0.1){$x$}
\rput(0.1,1.9){$y$}
\rput[d](1,-0.15){\textbf{$1$}}
\rput[d](2,-0.15){\textbf{$2$}}
\rput[l](-0.1,1){\textbf{$1$}}
\psline(0,0)(0.5,1)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.7,-1)(3,2.2)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-0.7,-0.6)(2.5,2)
  \pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.4}{atg(x)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,-0.6)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.7,\n)(2.7,\n)}
\rput(2.8,0.1){$x$}
\rput(0.1,1.9){$y$}
\psline(0,0)(1,1)
\rput[d](1,-0.15){\textbf{$1$}}
\rput[d](2,-0.15){\textbf{$2$}}
\rput[l](-0.1,1){\textbf{$1$}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 6 points}

\medskip

La figure ci-dessous représente, en perspective cavalière, le sol $(A_1A_4D_4D_1)$ et le mur de droite $(A_1B_1B_4A_4)$ d'une salle. Le mur et le sol sont pavés avec des carrelages identiques de forme carrée.

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.7,-1)(5,6.2)
\pstGeonode[PosAngle=-5,PointSymbol=none](4.8,0){A_1}
\pstGeonode[PosAngle=-5,PointSymbol=none,PointName=none](3.2,0){a}
\pstGeonode[PosAngle=-5,PointSymbol=none,PointName=none](1.6,0){b}
\pstGeonode[PosAngle=-95,PointSymbol=none](0,0){D_1}
\pstGeonode[PosAngle=0,PointSymbol=none](4.8,1.6){C_1}
\pstGeonode[PosAngle=0,PointSymbol=none](4.8,3.2){B_1}
\pstRotation[RotAngle=146,PointName=none, PointSymbol=none]{D_1}{b}[c]
\pstHomO[HomCoef=0.6875,PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{c}[d]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{b}[e]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{a}[f]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{D_1}{d}{A_1}[A_2]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{D_1}{d}{A_2}[A_3]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=150]{D_1}{d}{A_3}[A_4]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{D_1}{d}{B_1}[B_2]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{D_1}{d}{B_2}[B_3]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{D_1}{d}{B_3}[B_4]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{d}[g]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{e}[h]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{f}[i]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=135]{D_1}{d}{g}[D_4]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{h}[j]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{D_1}{d}{i}[k]
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=180]{A_1}{C_1}{A_4}[C_4]
\pstLineAB{D_1}{A_1}
\pstLineAB{D_1}{D_4}
\pstLineAB{D_4}{A_4}
\pstLineAB{A_1}{A_4}
\pstLineAB{A_1}{B_1}
\pstLineAB{B_4}{B_1}
\pstLineAB{B_4}{A_4}
\pstLineAB{C_4}{C_1}
\pstLineAB{A_3}{B_3}
\pstLineAB{B_2}{A_2}
\pstLineAB{a}{k}
\pstLineAB{b}{j}
\pstLineAB{d}{A_2}
\pstLineAB{g}{A_3}
\end{pspicture} 
\end{center}

Le but de l'exercice est de représenter sur l'annexe ce carrelage en perspective centrale sachant que le sol est horizontal, le mur est vertical et le plan $(D_1A_1B_1)$ est frontal.

Dans cette perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi, $a_1$ est l'image de $A_1$, $a_2$ l'image de $A_2$, ...

On a représenté sur la feuille annexe la ligne d'horizon, le segment $[a_1b_1]$ et le point $a_3$.

Aucune justification des constructions n'est attendue, mais on laissera apparents tous les traits de construction.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Construire le point de fuite de la droite $(A_1A_3)$, noté $f$, et le point $b_3$.
		\item Construire le segment $[a_2b_2]$.
		\item Construire le point $c_1$.
		\item Construire le segment $[a_4b_4]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Préciser, en justifiant la réponse, le réel $k$ tel que $a_1d_1 = ka_1c_1$.
		\item Construire le point $d_1$.
		\item Terminer la figure.
	\end{enumerate}
\item Pour chacune des trois affirmations ci-dessous dire, en justifiant la réponse donnée, si elle est vraie ou fausse.

En cas de réponse négative, on pourra fournir un contre-exemple issu de la figure complétée en annexe.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item Le plan $(A_4B_4D_4)$ est frontal.
		\item En perspective centrale, les milieux sont toujours conservés.
		\item En perspective centrale, les milieux ne sont jamais conservés.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4  \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre entier $3^{\np{2008}}$ dont certaines ne peuvent être obtenues à l'aide d'une calculatrice.

\bigskip

\textbf{Partie A : Chiffre des unités de $3^{\np{2008}}$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $3^8\equiv 1 \mod{10}$. En déduire que $3^{2008}\equiv 1\mod{10}$.
\item Quel est le chiffre des unités de $3^{\np{2008}}$ ?\\
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Nombre de chiffres de $3^{2008}$}

\medskip

Dans cette partie, $\log{}$ désigne la fonction logarithme décimal.

On pourra utiliser les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
\item[$*$] $\log{a^n}=n\times \log{a}$, pour tout nombre réel $a$ strictement positif et tout nombre entier $n$.
\item[$*$] $\log{10}=1$
\item[$*$] La fonction $\log{}$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $\np{0,4771} < \log{3}< \np{0,4772}$, justifier l'encadrement $958 < \log{\left(3^{\np{2008}}\right)}< 959$.
\item Calculer $\log{\left(10^{958}\right)}$ et $\log{\left(10^{959}\right)}$.
\item Déduire des questions précédentes l'encadrement $10^{958}< 3^{\np{2008}}<10^{959}$.
\item Expliquer comment on peut déduire de l'inégalité précédente le nombre de chiffres de l'écriture décimale du nombre entier $3^{\np{2008}}$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 }

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(-12.7,-1)(6.3,10)
\psline(-12.5,8)(6.1,8)
 \pstGeonode[PosAngle=15,PointSymbol=x,dotscale=2](0,0){a_1}
 \pstGeonode[PosAngle=55,PointSymbol=x,dotscale=2](0,5.85){b_1}
 \pstGeonode[PosAngle=180,PointSymbol=x,dotscale=2](-4.65,3.8){a_3}
\pstLineAB{a_1}{b_1}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}