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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textheight 27.1 cm  
\topmargin -3cm 
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\headsep 0 mm
\footskip 10 mm
\parindent 0pt
%
\textwidth 190 mm
\oddsidemargin -15 mm
\evensidemargin -15 mm
%Tapuscrit Denis Vergès
\def\({$\displaystyle}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}{\Large\textbf{Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité\\Polynésie juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip
 
On a représenté ci-dessous en perspective parallèle deux pyramides régulières à base carrée SABCF et RFCDE, de même hauteur SP et RQ, où P est le centre du carré ABCF et Q le centre du carré CDEF.
 
Le plan horizontal contient les six points A, B, C, D, E et F.

Les points A et B sont dans un plan frontal.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,7)
\pspolygon(0,0)(4.1,0)(3.15,4.8)%ABS
\psline(4.1,0)(6.1,1.5)(3.15,4.8)%BCS
\pspolygon(6.1,1.5)(8,3)(5.05,6.3)%CDR
\psline(5.05,6.3)(3.7,4.2)%RF
\psline[linestyle=dashed](3.7,4.2)(2,1.55)%RF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1.55)(6.1,1.5)%AFC
\psline[linestyle=dashed](8,3)(3.9,3)(5.05,6.3)%DER
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.1,1.5)(3.9,3)%ACE
\psline[linestyle=dashed](4.1,0)(2,1.55)(8,3)%BFD
\psline[linestyle=dashed](2,1.55)(3.9,3)%FE
\uput[d](0,0){A} \uput[d](4.1,0){B} \uput[dr](6.1,1.5){C} 
\uput[dr](8,3){D} \uput[ul](3.9,3){E} \uput[ul](2,1.55){F} 
\uput[d](3.05,0.8){P} \uput[d](4.95,2.3){Q} \uput[u](5.05,6.3){R} 
\uput[u](3.15,4.8){S} 
\end{pspicture}
\end{center} 

On veut reproduire cette figure en perspective centrale sur la feuille de l'annexe 1, à rendre avec la copie.
 
\textbf{On laissera apparents tous les traits de construction} 

\medskip

Dans la perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi \texttt{a} est l'image de A, \texttt{b} est l'image de B, etc.
 
Sur la feuille de l'annexe 1, on a tracé la ligne d' horizon, notée (h), les segments [\texttt{ab}] et [\texttt{bc}] ainsi que le point \texttt{s}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite \texttt{m} de la droite (BC) et le point de fuite \texttt{n} de la droite (AC). 
\item Construire  l'image \texttt{f} du point F. Donner deux propriétés de la perspective centrale qui justifient la construction du point \texttt{f}. 
\item Construire les points \texttt{d} et \texttt{e}~ images respectives des points D et E. 
\item Quel est le point de fuite de la droite (SR) ? On ne demande pas de justification. 
\item Terminer la construction des deux pyramides. 
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur l'intervalle [0~;~2] par : 

\[u(x) = 10\text{e}^{- 2x}\quad \text{et} \quad v(x) = 0,1\text{e}^{2x}.\]

On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = u(x) + v (x)$.
 
Soient $\mathcal{C}_{u},~\mathcal{C}_{v}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les courbes représentant respectivement les fonctions $u,~v$ et $f$ dans un 
repère orthogonal (O$x$,~O$y$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de [0~;~2],~$f'(x) = 2(v(x) - u(x))$. 
		\item En déduire que les inéquations $f'(x) > 0$ et $v(x) > u(x)$ ont même ensemble de solutions.
		
Les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ sont tracées sur la feuille de l'annexe 2. On note $\alpha$ l'abscisse du point d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on résout graphiquement l'inéquation $v(x) > u(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Ajouter sur le graphique le nom des courbes. 
		\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du nombre $\alpha$. 
		\item Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $v(x) > u(x)$.
	\end{enumerate} 
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$. 
\item Compléter le graphique de l'annexe 2 en traçant  la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
 \end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation} 

\medskip

Trois amis Alain, Bernard et Corinne vont dîner à l'\og Auberge de Bernoulli \fg. L'aubergiste propose de tirer au sort la personne qui payera le dîner. Il leur présente un sachet opaque qui contient quatre boules, dont trois blanches et une noire. Le premier des trois amis qui tire la boule noire paie tous les repas. Si aucun des trois ne tire la boule noire, l'aubergiste offre le dîner. 
Les trois amis veulent comparer deux méthodes différentes de tirer les boules. 

\medskip

Dans cet exercice, on notera : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og Alain tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement \og  Bernard tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement \og Corinne tire une boule noire \fg, 
\item[$\bullet~$] $\overline{A},~\overline{B}$ et $\overline{C}$ les évènements contraires des précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Première méthode}
 
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre, dans l'ordre alphabétique de leur prénom,  \textbf{une boule puis la remettre dans le sachet}. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$, notée $p(A)$, et la probabilité conditionnelle  de l'évènement $B$ sachant que $\overline{A}$ est réalisé, notée $p_{\overline{A}}(B)$. 
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :
		
\begin{center}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\TR{$A$}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
  		{	\TR{$B$}
           \pstree{\TR{$\overline{B}$}}
           		{
           \TR{$C$}  \TR{$\overline{C}$}
                 } 
  		}
}
\end{center} 

		\item Calculer $p(B)$ et $p(C)$. 
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og l'aubergiste offre le dîner \fg{} ? 
	\end{enumerate} 
\item  \textbf{Deuxième méthode}

\medskip
 
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre,  dans l'ordre alphabétique de leur prénom, \textbf{une boule sans la remettre dans le sachet}. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $A,~B$ et $C$.
		 
Calculer la probabilité de l'évènement \og  l'aubergiste offre le diner \fg.
	\end{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi Corinne préfère la première méthode.
 
Quelle est la méthode la plus favorable à l'aubergiste ? 
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{l c l} 
\emph{Initialisation} &:& Affecter à N la valeur $0$.\\ 
&&Affecter à U la valeur $10$.\\ 
Traitement& :& Tant que $U \leqslant 100$\\ 
&& \begin{tabular}{|l l}
\hspace{0.4cm}&Affecter à N la valeur N + 1.\\
\hspace{0.4cm}&Affecter à U la valeur 2U - 5.\\
\end{tabular}\\ 
Sortie&:& Afficher N.\\
\end{tabular}
\end{center}
 
Faire fonctionner cet algorithme en complétant certaines des cases du tableau de l'annexe 2.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = 2u_{n} - 5$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On veut démontrer, pour tout nombre entier naturel $n$, l'égalité $\left(E_{n}\right)$ : 

\[u_{n} = 5 \times 2^n + 5\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un nombre entier naturel. Montrer que si l'égalité $\left(E_{k}\right)$ est vraie, alors l'égalité $\left(E_{k+1}\right)$ est vraie. 
		\item Que reste-t-il à vérifier pour démontrer que,  pour tout nombre entier naturel $n,~u_{n} = 5 \times 2^n + 5$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On cherche la plus petite valeur $n_{0}$ de $n$ telle que $u_{n} > \np{1000}$. 

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment modifier l'algorithme de la partie A pour obtenir cette valeur $n_{0}$. 
\item Déterminer cette valeur $n_{0}$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie :}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(24,14)
\psline(0,13)(24,13)
\psline(2,5.1)(7.3,5.1)(8.55,7.75)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2,5.1)(7.3,5.1)(8.55,7.75)(5.9,11)
\uput[u](0.5,13){\texttt{h}} \uput[u](5.9,11){\texttt{s}} \uput[d](2,5.1){\texttt{a}} \uput[d](7.3,5.1){\texttt{b}} \uput[r](8.55,7.75){\texttt{c}} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{landscape}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=5cm,yunit=1cm}

\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.2,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,11)
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[l](0,11){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-0.2+0.2}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,11)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(2.2,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{2}{10 2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{2}{0.1 2.71828 x 2 mul exp mul}
\end{pspicture}

\vspace{1cm} 

\textbf{Exercice 4 }

\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-1}
initialisation&\multicolumn{11}{c}{~}\\ \cline{1-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&N&&\multicolumn{9}{c}{~}\\ \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&U&&\multicolumn{9}{c}{~}\\ \hline
traitement&&\small étape 1&\small étape 2&\small étape 3& \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&N&&&&&&&&&&\\ \cline{2-12}
\multicolumn{1}{c|}{~}&U&&&&&&&&&&\\ \hline
sortie&&\multicolumn{10}{|c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{document}