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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\rfoot{\small novembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2012}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Au premier janvier 2010, la population d'une ville était de \np{32500}~habitants, On considère que chaque année :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le nombre d'habitants augmente de 2\,\% du fait des naissances et des décès ; 
\item[$\bullet~~$] \np{1500}~habitants s'ajoutent à l'augmentation précédente du fait de nouveaux arrivants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $u_{0}$ le nombre d'habitants de la ville au premier janvier 2010. 

On note $u_{1}$ le nombre d'habitants de la ville au premier janvier 2011.
 
Pour tout $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants au premier janvier $2010 + n$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le nombre d'habitants de cette ville prévu au premier janvier 2011 est de \np{34650}. 
		\item Déterminer le nombre d'habitants de cette ville prévu au premier janvier 2012.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,02 u_{n} + \np{1500}$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{75000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Monlrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = \np{107500}$ et de raison $q = 1,02$. 
		\item Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item En justifiant votre réponse, déterminer à partir de quelle année le nombre d'habitants de cette ville aura doublé par rapport à sa valeur au premier janvier 2010.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Soient $N$ et $B$ deux nombres entiers naturels. On appelle $Q$ le quotient entier de $N$ par $B$. 

Par exemple si $B = 3$ et $N = 17$ alors le quotient entier de $N$ par $B$ est $Q = 5$.
 
On considère l'algorithme :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|X|}\hline
Entrée			&Deux entiers naturels $N$ et $B$\\ \hline 
Initialisation	&$Q = 1$\\ \hline  
Traitement 		&Tant que $Q \neq 0$\\ 
				&Affecter à $Q$ le quotient entier de $N$ par $B$.\\ 
				&Affecter à $R$ la valeur $(N - Q \times B)$.\\ 
				&Afficher $R$.\\ 
				&Affecter à $N$ la valeur de $Q$.\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs successives de $R$ affichées par cet algorithme pour $B = 2$ et $N = 12$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs successives de $R$ affichées par cet algorithme pour $B = 3$ et $N = 346$ ? 
		\item Quelle est l'écriture de $346$ en base $3$.
	\end{enumerate} 
\item Que permet de déterminer cet algorithme ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Une maladie touche 20\,\% de la population d'une ville.
 
Lors d'un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique qui a les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item lorsque la personne est malade, la probabilité d'avoir un test positif est $0,85$. 
\item lorsque la personne n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,95$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une personne au hasard dans cette population.
 
On note $T$ l'évènement \og la personne a un test positif à cette maladie \fg{} et $M$ l'évènement \og la personne est atteinte de cette maladie \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les données de l'énoncé, donner les probabilités $p(M),\:p_{M}(T)$ et $p_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$. 
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : 

\begin{center}\psset{nodesep=2pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}}
	  { 
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$}}
	  {
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
}
\end{center} 

		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0,21$.
	\end{enumerate} 
\item On appelle valeur prédictive positive du test, la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque celte probabilité est supérieure à $0,95$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur prédictive positive de ce test. Ce test est-il efficace sur la population étudiée ? 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
		 
Étudier l'efficacité du test lorsque 60\,\% des personnes d'une ville sont touchées par cette maladie. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Le \emph{volley-ball} se pratique sur un terrain qui a la fonne d'un rectangle ABCD de 18 mètres de longueur sur 9 mètres de largeur. La ligne \emph{centrale} [IJ] s'étend sous le filet sur toute la largeur du terrain et sépare les deux camps. Les lignes \emph{d'ataque} [HG] et [EF] sont peintes au sol dans chaque moitié de terrain, à 3 mètres du filet ; elles sont communément appelées \og \emph{lignes des 3 mètres} \fg{} ; (voir la Figure 1).

\medskip
 
Les deux \emph{poteaux}  [PM] et [QN] sont écartés d'une distance MN. Leur implantation déborde de part et d'autre du terrain.
 
Un \emph{filet} rectangulaire PQRS est tendu au sommet des deux \emph{poteaux}  (voir la Figure 2).

\medskip
 


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,10)
\rput(2.75,10){\textbf{Figure 1}}
\psframe(0.5,0.5)(5,9.5)
\psline(0.5,3.5)(5,3.5)
\psline(0.5,5)(5,5)
\psline(0.5,6.5)(5,6.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A}\uput[dr](5,0.5){B}
\uput[ur](5,9.5){C}\uput[ul](0.5,9.5){D}
\uput[l](0.5,3.5){E}\uput[r](5,3.5){F}
\uput[ur](0.5,5){I}\uput[ul](5,5){J}
\uput[l](0.5,6.5){H}\uput[r](5,6.5){G}
\psdots(0.3,5)(5.2,5)
\uput[l](0.3,5){M}\uput[r](5.2,5){N}
\psline(6,0.5)(6,1.6)
\psline(11,0.5)(11,1.6)
\multido{\n=1.1+0.1}{6}{\psline(6,\n)(11,\n)}
\multido{\n=6.0+0.1}{51}{\psline(\n,1.1)(\n,1.6)}
\rput(8.5,3){\textbf{Figure 2}}
\uput[ul](6,1.6){P}\uput[ur](11,1.6){P}
\uput[r](11,1.1){R}\uput[l](6,1.1){S}
\uput[l](6,0.5){M}\uput[r](11,0.5){N}
\end{pspicture} 

 
 
\emph{Dans les questions suivantes, on laissera les traits de construction apparents.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur le plan horizontal contenant le terrain, est placé un lampadaire [YO] muni en O d'une source lumineuse.
 
On a représenté sur l'\textbf{ANNEXE 1}, en perspective parallèle, les poteaux et le filet ainsi que le lampadaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'ombre du point M ? Construire l'ombre P$'$ du point P. 
		\item Terminer l'ombre sur le sol des poteaux et du filet. On hachurera l'ombre du filet. 
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur l'\textbf{ANNEXE 2}, en perspective centrale, la ligne d'horizon $\Delta$ et les images \texttt{e, f} et \texttt{g} des points E, F et G du terrain.
	\begin{enumerate} 
		\item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{1}$ de la droite (FG). Justifier que \texttt{w}$_{1}$ est aussi le point de fuite de la droite (EH), 
		\item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{2}$ de la droite (EF), 
		\item En déduire la construction de l'image \texttt{h} du point H, 
		\item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{3}$ de la droite (FH). Tracer les segments [\texttt{eg}] et [\texttt{fh}] puis construire les images \texttt{i} et \texttt{j} des points I et J, 
		\item Justifier que les droites (FH), (DG) et (EB) ont le même point de fuite puis terminer la construction du terrain (on ne représentera ni les poteaux ni le filet).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1\\(À remettre avec la copie)}

\vspace{2cm} 
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4 \\Question 1}\end{flushleft}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\psline(0,0)(0,1.6)\psline(6.8,0)(6.8,1.6)
\multido{\n=0.900+0.175}{5}{\psline(0,\n)(6.8,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{35}{\psline(\n,0.9)(\n,1.6)}
\psline(4.4,2.1)(4.4,4.7)
\uput[r](4.4,2.1){Y}\uput[r](4.4,4.7){O}
\uput[l](0,1.6){P}\uput[r](6.8,1.6){Q}
\uput[l](0,0.9){S}\uput[r](6.8,0.9){R}
\uput[l](0,0){M}\uput[r](6.8,0){N}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE 2\\(À remettre avec la copie)}
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4 \\ Question 2}\end{flushleft}

\begin{pspicture}(12,6.5)
\psline(0,6)(12,6)
\uput[d](0,6){$\Delta$}
\psline(4.8,2.3)(7.3,0.55)(9,1.7)
\uput[ul](4.8,2.3){\texttt{e}} \uput[d](7.3,0.55){\texttt{f}} \uput[dr](9,1.7){\texttt{g}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}