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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L facultatif}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole juin 2002~\decofourright}}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2
	ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4.

\vspace{0,25cm}

Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition du candidat
\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire }\hfill 7 points}

\medskip

On considère un jeu de boules comme le jeu de pétanque par exemple. Un joueur lance une boule et on s'intéresse ici à la trajectoire de la boule.\\
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par 
\[g(x) = - x^2 + 1,5x +1\]
 où : 	$x$ est le temps écoulé, en secondes, à partir de l'instant où la boule quitte la main du lanceur, $g(x)$ représente, en mètres, la distance (verticale) séparant le sol de la boule après $x$ secondes écoulées.
\begin{enumerate}
\item  La fonction $g$ est représentée par une partie de la courbe donnée en annexe.

Repasser en couleur la courbe représentative $(\mathcal{C}_{g})$ de la fonction $g$ sur la feuille annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(0)$. Décrire par une phrase ce que représente le point d'abscisse $0$.
		\item Calculer $g(1)$. Décrire par une phrase ce que représente le point d'abscisse $1$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $g'(x),~g'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Rechercher le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x,~ x\in  [0~ ;~ 2]$.
		\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $g$.
		\item En explicitant la méthode utilisée, indiquer à quel instant la boule atteint sa hauteur maximale.
		\item En explicitant la méthode utilisée, indiquer à quel instant la boule touche le sol.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire }\hfill 6 points}

\medskip

Les codes secrets des cartes bancaires sont formés de quatre chiffres pris de 0 à 9.

Pierre n'a pas noté celui de sa carte bancaire dans son agenda, mais comme il a peur de l'oublier, il a quand même noté la forme \og cryptée \fg{} de son code secret de façon que son code secret ne soit pas découvert si son agenda était perdu.

Pierre réalise toujours son cryptage de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item Il choisit deux chiffres $a$ et $b$, appelés \og clés du cryptage \fg, qui vont lui servir a tout le cryptage.
\item	Il remplace chaque chiffre $n$ de son code secret par le chiffre $p$, appelée forme cryptée de $n$, qu'il calcule à l'aide de la formule suivante

		\[p \equiv a \times  n + b \quad (\text{modulo}~  10).\]

\end{itemize}

L'objectif de la partie A est de retrouver le code secret de la carte bancaire de Pierre, connaissant les clés du cryptage.

L'objectif de la partie B est de retrouver les clés d'un autre cryptage.

\medskip

\textbf{LES PARTIES A ET B SONT DONC INDÉPENDANTES.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pierre a choisi ici 	$a = 3$ et $b = 7$.

Alors $	p \equiv 3 \times  n + 7 \quad (\text{modulo}~  10).$

Par exemple, la forme cryptée du chiffre $5$ sera le chiffre $2$.

Car	$3\times5 + 7 = 22$ et 	$22 \equiv 2 \quad (\text{modulo}~10)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter la table de cryptage ci-dessous correspondant à la formule de Pierre.

\[\begin{array}{|*{11}{c|}}\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline
p&&&&6&9&2&&&1&\\ \hline
\end{array}\]

\item Pierre a inscrit $8~5~0~3$ dans son agenda qui est la forme cryptée de son code secret. Quel est son véritable code secret ?
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pierre a fait des émules.
 
Quentin utilise la même formule que Pierre $p \equiv a \times n + b\quad  (\text{modulo} ~ 10)$, mais en prenant deux autres valeurs de $a$ et $b$ parmi les chiffres de $0$ à $9$. Pierre prétend pouvoir déterminer la formule de Quentin (c'est-à-dire trouver les nombres $a$ et $b$) car ce dernier lui a avoué les formes cryptées de deux chiffres :

\begin{itemize}
\item La forme cryptée du chiffre 3 est le chiffre 3 ;
\item La forme cryptée du chiffre 4 est le chiffre 2.
\end{itemize} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Établir que découvrir $a$ et $b$ revient à résoudre le système d'inconnue $(a~;~b)$

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3a + b &=&  3 \quad (\text{modulo}~10)\\
4a + b &=& 2 \quad (\text{modulo}~10)\\
\end{array}\right.\]

où $a$ et $b$ sont des chiffres de $0$ à $9$.
\item Pierre prétend que le couple (9 ; 6) est une solution de ce système. Montrer qu'il a raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 ou exercice 4 ? Indiquer clairement votre choix sur la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

Soit OA$_{0}$A$_{1}$ un triangle rectangle isocèle en A$_{1}$.

Extérieurement au triangle OA$_{0}$A$_{1}$, on construit sur le côté [OA$_{1}$] un triangle OA$_{1}A_{2}$ rectangle isocèle en $A_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose OA$_{0} = 1$.

Montrer que OA$_{1}$ = A$_{0}$A$_{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
\item On itère le procédé et on trace une suite de triangles rectangles isocèles. Si O$A_{n-1}A_{n}$ est un triangle rectangle isocèle en $A_{n}$, on trace alors extérieurement à celui-ci, le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ rectangle isocèle en$A_{n+1}$.

Établir que	 O$A_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{O}A_{n}$.

\medskip

\textbf{Dans la suite de l'exercice on note \boldmath $\left(u_{n}\right)$, la suite telle que} $u_{0}= \text{OA}_{0},~ u_{1} = \text{OA}_{1},~ \ldots u_{n} = \text{O}A_{n}$.\unboldmath
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique et la caractériser.
		\item Exprimer $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée OA$_{0}$A$_{1} \ldots A_{n-1}A_{n}$, c'est-à-dire :

\[L_{n} = \text{OA}_{0} + \text{A}_{0}\text{A}_{1} + \ldots + A_{n-1}A_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}.\]

Établir que $L_{n} = \dfrac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} $	et en déduire la limite de la suite $\left(L_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Formulaire}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Si $0 < b < 1$  alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b^n = 0$.\\
\item[$\bullet~$] Si $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q (q \neq 1)$ et de premier terme $q_{0}$, alors :

\[S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n} = v_{0}\dfrac{1-q^n}{1-q}.\]
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 ou exercice 4 ? Indiquer clairement votre choix sur la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4 }\hfill 7 points}

\medskip

Une chaîne de fabrication produit des rasoirs jetables en très grand nombre.

À la sortie de la chaîne, chaque rasoir subit un test de contrôle par un automate.

L'automate rejette les rasoirs présentant un défaut. Il arrive cependant que le test ne décèle pas un défaut et laisse passer le rasoir, ou au contraire rejette un rasoir qui ne présente aucun défaut.

Une étude statistique faite sur un très grand nombre de rasoirs a en fait montré que :

\begin{itemize}
\item  lorsque le rasoir est correctement fabriqué, le test confirme cela et accepte l'objet dans $998$ cas sur \np{1000} ;
\item si le rasoir a un défaut de fabrication, le test détecte ce défaut et rejette le rasoir dans $985$ cas sur \np{1000} ;
\item sur \np{1000} rasoirs fabriqués, $980$ n'ont aucun défaut, les autres sont défectueux.
\end{itemize}

On choisit un rasoir au hasard.

On note dans la suite,

D	l'évènement \og le rasoir n'a pas de défaut de fabrication \fg,

$\overline{\text{D}}$	l'évènement contraire de D,

A	l'évènement \og le test accepte le rasoir \fg,

$\overline{\text{A}}$	l'évènement contraire de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Décrire chacun des évènements suivants par une phrase :

\[\overline{\text{D}} \cap \text{A}, \quad 	\overline{\text{D}} \cap \overline{\text{A}},\quad 	\text{D} \cap \text{A},\quad  	\text{D} \cap \overline{\text{A}}.\]

\item À l'aide de l'énoncé, donner les probabilités suivantes :

$p_{\text{D}}(\text{A})$ (probabilité de A sachant que D est réalisé) et $p_{\overline{\text{D}}}\left(\overline{\text{A}}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant en faisant figurer les résultats exacts.

\psset{nodesep=6pt}
\begin{center}\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{D}}
		{
\TR{A}\taput{}
\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{\text{D}}$}}
		{
\TR{A}\taput{}
\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{}
 		}
}		
		 \end{center}

		\item Quelle est la probabilité qu'un rasoir soit accepté après le test de contrôle ? Donnez l'arrondi avec une précision de $10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}