\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = { 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2015~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{Questions liées} \medskip 1--2--4--5 6 et 7 9 et 10 11 à 13 14 à 17 18 à 19 20 à 25 \bigskip \textbf{\large PARTIE 1}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère la fonction polynôme $Q$ définie pour tout nombre réel $x$ par $Q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 1$, et la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, par $g(x) = \dfrac{1-x}{1 + x^3}$. On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 1 :} en étudiant les variations de la fonction polynôme $Q$, on démontre que: \medskip \textbf{A.~~} Le polynôme $Q$ n'admet aucune racine réelle. \textbf{B.~~} Le polynôme $Q$ admet une unique racine réelle notée $a$ appartenant à l'intervalle ]1~;~2[. \textbf{C.~~} Le polynôme $Q$ admet uniquement deux racines réelles notées $\alpha$ et $\beta$ appartenant respectivement aux intervalles ]1~;~2[ et ]0~;~1[. \textbf{D.~~} Le polynôme $Q$ admet uniquement trois racines réelles notées $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ appartenant respectivement aux intervalles ]1~;~2[, ]0~;~1[ et $]- \infty~;~0[$. \bigskip \textbf{Question 2 :} on démontre que: \medskip \textbf{A.~~} Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, la fonction dérivée de la fonction $g$ est $g'(x) = \dfrac{-Q(x)}{\left(1 + x^3\right)^2}$. \textbf{B.~~} Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, la fonction dérivée de la fonction $g$ est $g'(x) = \dfrac{Q(x)}{\left(1 + x^3\right)^2}$. \textbf{C.~~} La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $]\alpha~;~+\infty[$ et décroissante sur l'intervalle $] -1~;~\alpha[$. \textbf{D.~~} La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $]-1~;~\alpha[$ et décroissante sur l'intervalle $]\alpha~;~+ \infty[$. \bigskip \textbf{Question 3 :} on établit que: \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 1$. \textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$. \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$. \bigskip \textbf{Question 4 :} on établit que la courbe représentative $C_g$ de la fonction $g$ admet une tangente $(\Delta)$ au point d'abscisse $0$ : \medskip \textbf{A.~~} qui a pour équation : $y = -x + 1$. \textbf{B.~~} qui a pour équation : $y = x + 1$. \textbf{C.~~} qui a pour équation : $y = x - 1$. \textbf{D.~~} qui a pour équation : $y = - x - 1$. \bigskip \textbf{Question 5 :} on démontre que la tangente $(\Delta)$ est: \medskip \textbf{A.~~} Au-dessous de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]-1~,~1[$. \textbf{B.~~} Au-dessus de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]-1~,~1[$. \textbf{C.~~} Au-dessous de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]-1~,~0[$ et au-dessus de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]0~,~1[$. \textbf{D.~~} Au-dessus de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]-1~,~0[$ et au-dessous de la courbe $C_g$ sur l'intervalle $]0~,~1[$. \bigskip \textbf{Question 6 :} en déterminant trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x) = \dfrac{a}{x + 1} + \dfrac{bx + c}{x^2 - x + 1}$ on établit que \medskip \textbf{A.~~} $g(x) = \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2x-1}{x^2 - x + 1}$. \textbf{B.~~} $g(x) = \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{2x-1}{x^2- x + 1}$. \textbf{C.~~} $g(x) = -\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{x + 1} +\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2x-1}{x^2- x + 1}$. \textbf{D.~~} $g(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{2x-1}{x^2- x + 1}$. \bigskip \textbf{Question 7 :} la fonction $g$ est une fonction continue sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, donc elle est intégrable sur cet intervalle. Ainsi $G(x) = \displaystyle\int_0^x g(t)\:\text{d}t$ est définie et on établit que : \medskip \textbf{A.~~} $G(1) = 2\ln 2$. \textbf{B.~~} $G(1) = \dfrac{2}{3}\ln 2$. \textbf{C.~~} $G(1) = -\dfrac{2}{3} \ln 2$. \textbf{D.~~} $G(1) = \dfrac{3}{2}\ln2$. \medskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Soit $f$ la fonction définie par l'expression suivante: $f(x) = (1 - x)\sqrt{1 - x^2}$.\\ On note $C_f$ la courbe représentative de cette fonction.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 8 :} on établit que: \medskip \textbf{A.~~} La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. \textbf{B.~~} La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[- 1~;~1]$. \textbf{C.~~} La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-\infty~;~- 1[$. \textbf{D.~~} La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~1[$. \bigskip \textbf{Question 9 :} on démontre que la fonction $f$ : \medskip \textbf{A.~~} n'est pas dérivable à gauche de 1. \textbf{B.~~} est dérivable à droite de $-1$. \textbf{C.~~} est dérivable à gauche de 1. \textbf{D.~~} n'est pas dérivable à droite de $-1$. \bigskip \textbf{Question 10 :} on démontre que la courbe représentative $C_f$ de cette fonction $f$ : \medskip \textbf{A.~~} admet, au point d'abscisse 1, une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \textbf{B.~~} admet, au point d'abscisse $-1$, une tangente parallèle à l'axe des ordonnées. \textbf{C.~~} admet, au point d'abscisse 1, une demi-tangente parallèle à l'axe des abscisses. \textbf{D.~~} admet, au point d'abscisse $-1$, une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées. \bigskip \textbf{Question 11 :} pour $x \in]- 1~;~1[$, on établit que la fonction $f$ admet pour dérivée : \medskip \textbf{A.~~} $f'(x)= \dfrac{(x-1)(2x+1)}{2\sqrt{1 - x^2}}$ \textbf{B.~~} $f'(x) = \dfrac{(x-1)(2x+1)}{\sqrt{1 - x^2}}$ \textbf{C.~~} $f'(x) = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$ \textbf{D.~~} $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(3x + 2)}{2\sqrt{1 - x^2}}$ \bigskip \textbf{Question 12 :} à partir d'un tableau de variation, on démontre que la courbe représentative $C_f$ admet au point d'abscisse $- \dfrac{1}{2}$ \medskip \textbf{A.~~} un maximum qui vaut $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. \textbf{B.~~} un minimum qui vaut $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$. \textbf{C.~~} un maximum qui vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \textbf{D.~~} un minimum qui vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \bigskip \textbf{Question 13 :} on donne $\sqrt{3} \approx 1,7$. On démontre que l'équation $f(x) = 1$ \medskip \textbf{A.~~} n'admet pas de solution. \textbf{B.~~} admet une solution et une seule. \textbf{C.~~} admet au plus deux solutions. \textbf{D.~~} admet au moins deux solutions. \bigskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE III}\end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Dans un aéroport d'une petite ville européenne, une compagnie aérienne possède deux guichets d'enregistrement et, pour ces deux guichets, une unique file d'attente.\\ On appelle$ X_i$ la variable aléatoire de temps passé par chaque voyageur au guichet \no $i$ , $i$ pouvant être égal à 1 ou à 2.\\ Le temps est exprimé en minutes.\\ On suppose que les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, toutes les deux de même loi exponentielle de paramètre $1/5$.\\ On donne $\dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,367$ où e désigne la constante de Néper.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\large A}}\\ Deux voyageurs arrivent simultanément aux deux guichets.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 14 :} on calcule, au centième près : \medskip \textbf{A.~~} $P(X \leqslant 5) \approx 0,37$. \textbf{B.~~} $P(X\leqslant 5R) \approx 0,63$. \textbf{C.~~} $P(X \leqslant 5) \approx 0,38$. \textbf{D.~~} $P(X\leqslant 5) \approx 0,64$. \bigskip \textbf{Question 15 :} Soit l'évènement $E_1$ : \og Les deux guichets se libèrent dans les cinq minutes \fg. On calcule, au centième près : \medskip \textbf{A.~~} $P\left(E_1\right) \approx 0,40$ car les deux évènements sont incompatibles. \textbf{B.~~} $P\left(E_1\right) \approx 0,14$ car les deux évènements sont incompatibles. \textbf{C.~~} $P\left(E_1\right) \approx 0,40$ car les deux évènements sont indépendants. \textbf{D.~~} $P\left(E_1\right) \approx 0,14$ car les deux événements sont indépendants. \bigskip \textbf{Question 16 :} Soit l'évènement $E_2$ : \og L'un des deux guichets se libère dans les cinq minutes \fg. \medskip On calcule, au centième près: \medskip \textbf{A.~~} $P\left(E_2\right) \approx 0,87$. \textbf{B.~~} $P\left(E_2\right) \approx 0,47$. \textbf{C.~~} $P\left(E_2\right) \approx 0,40$. \textbf{D.~~} $P\left(E_2\right) \approx 0,14$. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\large B}}\\ Vous êtes le premier dans l'unique file d'attente.\\ Les deux guichets viennent d'être pris simultanément par les deux voyageurs précédents.\\ On appelle $Z$ la variable aléatoire égale à votre temps d'attente, temps exprimé en minutes.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 17 :} on calcule, au centième près: \medskip \textbf{A.~~} $P(Z \leqslant 5)\approx 0,87$. \textbf{B.~~} $P(Z \leqslant 5)\approx 0,14$. \textbf{C.~~} $P(Z \leqslant 5)\approx 0,40$. \textbf{D.~~} $P(Z \leqslant 5)\approx 0,48$. \bigskip \textbf{Question 18 :} Soit l'évènement $E_3$ : \og Vous attendez plus de $t$ minutes \fg. On montre que : \medskip \textbf{A.~~} $P (Z \geqslant t) = \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$. \textbf{B.~~} $P (Z \geqslant t) = 2 \times \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$. \textbf{C.~~} $P (Z \geqslant t) = 1 - \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$. \textbf{D.~~} $P (Z \geqslant t) = 1 - 2 \times \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$ \bigskip \textbf{Question 19 :} l'espérance de votre temps d'attente est: \medskip \textbf{A.~~} 12 secondes. \textbf{B.~~} 5 minutes. \textbf{C.~~} 24 secondes. \textbf{D.~~} 2 minutes 30 secondes. \bigskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE IV}\end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \np{6000000} de rats vivent paisiblement dans une région et se répartissent de la manière suivante :\\ \np{3000000} de rats des villes, \np{3000000} de rats des champs; le nombre total de rats ne change pas.\\ Mais il est possible d'observer des mouvements de population entre les rats des villes et les rats des champs.\\ Ainsi, on remarque que tous les ans, 20\,\% des rats des champs deviennent des rats des villes, et 10\,\% des rats des villes deviennent des rats des champs.\\ On note, en millions, $v_n$ le nombre de rats des villes et $c_n$ le nombre de rats des champs en fin d'année $n$.\\\hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 20 :} on démontre que: \medskip \textbf{A.~~} $v_{n+1} = 0,9v_n + 0,1c_n$. \textbf{B.~~} $v_{n+1} = 0,9v_n + 0,2c_n$. \textbf{C.~~} $c_{n+1} = 0,1v_n + 0,8c_n$. \textbf{D.~~} $c_{n+1} = 0,8v_n + 0,1c_n$. \bigskip \textbf{Question 21 :} sachant que $v_n + c_n = 6$, on peut en déduire que: \medskip \textbf{A.~~} $v_{n+1} = 0,8v_n + 0,6$. \textbf{B.~~} $v_{n+1} = 0,7v_n + 1,2$. \textbf{C.~~} $c_{n+1} = 0,5c_n + 0,6$. \textbf{D.~~} $c_{n+1} = 0,7c_n + 0,6$. \bigskip \textbf{Question 22} : on note $x_n = v_n - 4$ et $y_n = c_n - 2$. On démontre que : \medskip \textbf{A.~~} $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,5$. \textbf{B.~~} $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$. \textbf{C.~~} $\left(y_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,5$. \textbf{D.~~} $\left(y_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$. \bigskip \textbf{Question 23 :} on déduit que: \medskip \textbf{A.~~} $x_n = (0,7)^n$. \textbf{B.~~} $x_n = - (0,7)^n$. \textbf{C.~~} $y_n = (0,5)^n$. \textbf{D.~~} $y_n = - (0,7)^n$. \bigskip \textbf{Question 24 :} on déduit que: \medskip \textbf{A.~~} $v_n = 4 + 0, 7^n$. \textbf{B.~~} $v_n = 4 + 0,5^n$. \textbf{C.~~} $c_n = 2 + 0, 5^n$. \textbf{D.~~} $c_n = 2 - 0, 7^n$. \bigskip \textbf{Question 25 :} on démontre que: \medskip \textbf{A.~~} Le nombre de rats des villes va tendre à disparaître. \textbf{B.~~} Le nombre de rats des champs va tendre à disparaitre. \textbf{C.~~} Les nombres de rats des villes et de rats des champs vont tendre vers une stabilisation respective de $v = \np{4000000}$ et $c = \np{2000000}$. \textbf{D.~~} Les nombres de rats des villes et de rats des champs vont tendre vers une stabilisation respective de $v = \np{2000000}$ et $c = \np{4000000}$. \bigskip \begin{center}\textbf{\large Épreuve facultative : PARTIE MATHÉMATIQUES} \medskip \textbf{Questions liées :} \medskip 1 à 3 4 à 9 10 à 11 \medskip \textbf{\large PARTIE I}\end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère le nombre complexe $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 1 :} \medskip \textbf{A.~~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$. \textbf{B.~~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}$. \textbf{C.~~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{4\pi}{3}}$. \textbf{D.~~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$. \bigskip \textbf{Question 2 :} \medskip \textbf{A.~~} La forme algébrique de $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \textbf{B.~~} La forme algébrique de $z^{-1}$ est $z^{-1} = - \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \textbf{C.~~} forme algébrique de $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \textbf{D.~~} La forme algébrique de $z^{-1}$ est $z^{-1} = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \bigskip \textbf{Question 3 :} \medskip \textbf{A.~~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = - 2 - 2\sqrt{3}\text{i}$. \textbf{B.~~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = 2 - 2\sqrt{3}\text{i}$. \textbf{C.~~} La forme algébrique de $z^3$ est $z^3 = - 8$. \textbf{D.~~} La forme algébrique de $z^3$ est $z^3 = 8$. \bigskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center} \medskip Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit le terme général de la suite $\left(J_n\right)$ par l'intégrale suivante : $J_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^n}{1 + t^2}\:\text{d}t$. \medskip Question 4 : on établit que \textbf{A.~~} $J_1 = \ln 2$. \textbf{B.~~} $J_1 = 2\ln 2$. \textbf{C.~~} $J_1 = \dfrac{\ln 2 - 1}{2}$. \textbf{D.~~} $J_1 = \dfrac{\ln 2}{2}$. \bigskip \textbf{Question 5 :} on démontre que \medskip \textbf{A.~~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+ 1}$ \textbf{B.~~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+ 2}$ \textbf{C.~~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+ 2}$ \textbf{D.~~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+ 1}$ \bigskip \textbf{Question 6 :} on établit que \medskip \textbf{A.~~} $J_n = \dfrac{1 - \ln 2}{2}.$ \textbf{B.~~} $J_n = \dfrac{4 - 3\ln 2}{6}.$ \textbf{C.~~} $J_n = \dfrac{- 1 + 2\ln 2}{4}.$ \textbf{D.~~} $J_n = \dfrac{- 1 + 6 \ln 2}{12}.$ \bigskip \textbf{Question 7 :} on établit que \medskip \textbf{A.~~}$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln 2 + \dfrac{1}{2}$. \textbf{B.~~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln 2 + \dfrac{1}{2}$. \textbf{C.~~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln \left(\sqrt{2\text{e}}\right)$. \textbf{D.~~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \dfrac{\ln 2 + 1}{2}$. \bigskip \textbf{Question 8 :} on démontre que la suite $\left(J_n\right)$ est \medskip \textbf{A.~~} convergente car elle est croissante majorée. \textbf{B.~~} divergente car elle est croissante non majorée. \textbf{C.~~} divergente car elle est décroissante non minorée. \textbf{D.~~} convergente car elle est décroissante minorée. \bigskip \textbf{Question 9 :} en utilisant l'un des résultats précédents, on démontre que \medskip \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 0$. \textbf{B.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = + \infty$ . \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = - \infty$ \textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 1$ \medskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE III}\end{center} \medskip Une population de grenouilles comptait \np{1000}~têtes en 2010, année de l'ouverture d'une nouvelle autoroute proche de leur lieu de vie. On a remarqué que, d'une année sur l'autre, la moitié de la population des grenouilles décroissait de 40\,\% tandis que l'autre moitié augmentait de 100 éléments. On appelle $g_n$ le nombre de grenouilles l'année $2010 + n$. \bigskip \textbf{Question 10 :} on démontre que \medskip \textbf{A.~~} $g_{n+1} = 0,9 \times g_n + 100$. \textbf{B.~~} $g_{n+1} = 0,8 \times g_n + 100$. \textbf{C.~~} $g_{n+1} = 1,1 \times g_n + 100$. \textbf{D.~~} $g_{n+1} = 1,6 \times g_n + 100$. \bigskip \textbf{Question 11 :} à l'aide d'un raisonnement par récurrence, on démontre que \medskip \textbf{A.~~} $g_{n} = 500 \times 1,6^n +600$. \textbf{B.~~} $g_{n} = 400 \times 1,1^n +600$. \textbf{C.~~} $g_{n} = 500 \times 0,8^n +500$. \textbf{D.~~} $g_{n} = 500 \times 0,9^n +500$. \bigskip \textbf{Question 12 :} on établit que \medskip \textbf{A.~~} La population de grenouilles va s'éteindre. \textbf{B.~~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers 600. \textbf{C.~~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers 500. \textbf{D.~~} La population de grenouilles va croître. \medskip \begin{center}\textbf{\large PARTIE IV}\end{center} \medskip On donne les points de l'espace suivants : \[\text{A}(1~;~2~;~3), \text{B}(-1~;~-2~;~5), \text{C}(1~;~3~;~-2), \text{D}(0~;~0~;~2).\] \medskip \textbf{Question 13 :} $t$ étant un nombre réel, on démontre que \medskip \textbf{A.~~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- 2 + t\\ y &=& - 4 + 2t\\ z &=& 2 + 3t\\ \end{array}\right.$ \textbf{B.~~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - t\\ y&=&2 - 2t\\ z&=& 3 - t \end{array}\right.$ \textbf{C.~~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1-2t\\ y&=& 2 - 4t\\ z&=&3+2t \end{array}\right.$ \textbf{D.~~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- 1 + t\\ y& =& - 2 + 2t\\ z &=&- 1+3t \end{array}\right.$ \bigskip \textbf{Question 14 :} on démontre que \medskip \textbf{A.~~} Le plan médiateur $(P)$ du segment (AB] a pour équation cartésienne, $x + 2y - z + 3 = 0$. \textbf{B.~~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $- x - 2y + z + 4 = 0$. \textbf{C.~~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $x + 2y + z + 4 = 0$. \textbf{D.~~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $- x - 2y + z + 3 = 0$. \bigskip \textbf{Question 15 :} on démontre que \medskip \textbf{A.~~} Le plan $(P’)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $5x - 3y - z + 2 = 0$. \textbf{B.~~} Le plan $(P’)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne $- 5x + 3y + z - 2 = 0$. \textbf{C.~~} Le plan $(P’)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- x - 3y + 4z - 2 = 0$. \textbf{D.~~} Le plan $(P’)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- x - 3y + 4z + 2 = 0$. \end{document}