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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 12 avril 2021}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 12 avril 2021~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{PARTIE MATHÉMATIQUE}

\medskip

Toutes les questions sont indépendantes
\end{center}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Pour $x \in  [0~;~2\pi[$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\cos (x) \leqslant -\cos (2x)$ est :

\bigskip

\baselineskip 25pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{3}~;~2\pi\right]$
\item[\textbf{B.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{6}~;~\pi\right]$
\item[\textbf{C.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$
\item[\textbf{D.}~~] $S = \left[\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}\right]$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

La solution de l'équation différentielle $15y' + 24y = 12$ avec $y\left(\dfrac54\right) = 2$ est la fonction :

\medskip

\baselineskip 30pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} - \dfrac12$
\item[\textbf{B.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} + \dfrac12$
\item[\textbf{C.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x + 2} - \dfrac12$
\item[\textbf{D.}~~]$f(x) = \dfrac32 \times \text{e}^{-\frac85 x - 2} + \dfrac12$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Dans un repère orthonormé, nous considérons un hexagone régulier ABCDEF de centre O, dont les côtés ont pour mesure de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à:

\medskip

\baselineskip 15pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$\sqrt{3}$
\item[\textbf{B.}~~]$- 3$
\item[\textbf{C.}~~]$-\sqrt{3}$
\item[\textbf{D.}~~]$\dfrac32$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]-\infty~;~ 0]$ par : 

\[g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}.\]

Soit $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = -1$.
\item[\textbf{B.}~~]$\mathcal{C}_g$ n'admet pas d'asymptote.
\item[\textbf{C.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = x$.
\item[\textbf{D.}~~]$\mathcal{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y = 1$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par :

\[f(x) = \displaystyle\int_0^x \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t.\]

La fonction $f''$, dérivée seconde de $f$ sur l'ensemble des nombres réels, est définie par:

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$f''(x) = \displaystyle\int_0^x - 2t\text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$
\item[\textbf{B.}~~]$f''(x) = \displaystyle\int_0^x - 2x\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x$
\item[\textbf{C.}~~]$f''(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}$
\item[\textbf{D.}~~]$f''(x) = \text{e}^{-x^2}$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ définies sur l'ensemble des nombres entiers naturels :

\bigskip

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]Si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} u_n = +\infty$ et si 
$\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = -\infty$ alors $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} \left(u_n + v_n\right) = 0$.
\item[\textbf{B.}~~] Si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre réel non nul et si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = +\infty$ alors la suite
$\left(u_n \times v_n\right)$ ne converge pas vers une limite finie.
\item[\textbf{C.}~~] Si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre réel non nul et si $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} v_n = 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$
admet $+ \infty$ ou $- \infty$ comme limite.
\item[\textbf{D.}~~] Si $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge vers une limite finie.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Dans un repère de l'espace, on considère les trois points: A(1~;~2~;~3), B$(-1~;~5~;~4)$, C$(-1~;~0~;~4)$.

La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :

\medskip

\baselineskip 25pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -t-1\\y&=&\frac32t\\z&=&\frac12t +4\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel.
\item[\textbf{B.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x &=&\phantom{4t} -1\\y&=&4t\\z&=& 7t+4\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel.
\item[\textbf{C.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x &=&- 1 - 2t\\y&=&\phantom{-}5+3t\\z&=&\phantom{-}4+t\end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel.
 \item[\textbf{D.}~~]$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&\phantom{-}2t\\ y &=& -3t\\
z &=&-t \end{array}\right.$, $t$ étant un nombre réel.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 8}

\medskip

ABCDEFGH est un cube dont les faces ABCD et EFCH sont parallèles et de telle sorte que [AE] et[BF] soient deux arêtes avec E situé \og au-dessus \fg{} de A.

M est le centre de la face ABFE et N est le centre de la face BCGF.

Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG].

Les droites (IJ) et (MN) sont:

\medskip

\baselineskip 15pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]perpendiculaires
\item[\textbf{B.}~~]orthogonales
\item[\textbf{C.}~~]sécantes, non perpendiculaires 
\item[\textbf{D.}~~]parallèles.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

L'équation $\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x - 4 = 0$ admet dans l'ensemble des nombres réels:

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]0 solution
\item[\textbf{B.}~~]1 solution
\item[\textbf{C.}~~]2 solution
\item[\textbf{D.}~~]plus de 2 solutions
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ respectivement par :

\[f(x) = \text{e}^{-x} \times \cos(4x) \quad \text{et }\quad  g(x) = \dfrac12\text{e}^{-x}.\]

Les points communs aux deux courbes représentatives de ces deux fonctions ont pour abscisses:

\medskip

\baselineskip 20pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]$x = \dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel.
\item[\textbf{B.}~~]$x = \dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel non nul.
\item[\textbf{C.}~~]$x = \dfrac{\pi}{24} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel non nul.
\item[\textbf{D.}~~]$x = \dfrac{\pi}{24} +\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{k\pi}{2},\,k$ étant un entier naturel.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

Un joueur lance une fois un dé cubique bien équilibré. Il gagne 10€ si le dé marque 1.

Il gagne 1~\euro{} si le dé marque 2 ou 4.

Il ne gagne rien dans les autres cas.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

La variance de $X$ est;

\medskip

\baselineskip 15pt
\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]2
\item[\textbf{B.}~~]12
\item[\textbf{C.}~~]16
\item[\textbf{D.}~~]17
\end{itemize}
 
 \bigskip

\textbf{Question 12} Suite télescopique

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul.

La limite de l'expression $\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(1 + \frac{1}{k} \right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ est : 

\medskip


\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]0
\item[\textbf{B.}~~]$\ln 2$
\item[\textbf{C.}~~]$+ \infty$
\item[\textbf{D.}~~]$- \ln 2$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 13} Suite doublement télescopique

\medskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

La limite de l'expression $\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln \left(1 - \frac{1}{k^2} \right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est:

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]0
\item[\textbf{B.}~~]$\ln 2$
\item[\textbf{C.}~~]$+ \infty$
\item[\textbf{D.}~~]$- \ln 2$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 14}

\medskip

On jette deux dés cubiques non pipés, l'un bleu et l'autre rouge.

Les faces de chacun des dés sont numérotées de 1 à 6.

On note $a$ le nombre de la face apparente du dé bleu et $b$ celui du dé rouge.

Sail $E$ l'équation du second degré dans l'ensemble des nombres réels : $x^2 - 2ax + b^2 = 0$.

Identifier la ou les affirmation(s) vraie(s) parmi les suivantes :

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~]La probabilité que $E$ ait une racine double est $\dfrac16$.
\item[\textbf{B.}~~]La probabilité que $E$ n'ait aucune racine réelle est égale à la probabilité que $E$ ait deux racines réelles distinctes.
\item[\textbf{C.}~~]Si $E$ a deux racines réelles distinctes, la probabilité que l'une soit égale à 1 est $\dfrac13$.
\item[\textbf{D.}~~]La probabilité que $E$ ait une racine double paire est $\dfrac{1}{36}$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Question 15}

\medskip

Une usine fabrique des vis de 2 cm de mesure de longueur.

On note $X$ la variable aléatoire ayant pour valeurs les mesures de longueurs des vis possibles exprimée en cm, la probabilité $p_i$ qu'une vis soit de longueur $x_i$.

On donne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&1,8& 1,9&2& 2,1& 2,2\\ \hline
$p_i$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac16$&$\dfrac12$&$\dfrac16$&$\dfrac{1}{12}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{itemize}
\item[\textbf{A.}~~] Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir au moins une vis  de mesure de longueur 1,8 cm est $\left(\dfrac{1}{12}\right)^6$.
\item[\textbf{B.}~~]Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir
exactement deux vis de mesure de longueur 1,8 cm est $6 \times \dfrac{11^4}{12^6}$.
\item[\textbf{C.}~~]Si nous prélevons au hasard et avec remise 6 vis, la probabilité d'avoir
au moins une vis de mesure de longueur supérieure ou égale à 1,9 cm est $1 -  \left(\dfrac{11}{12}\right)^6$.
 \item[\textbf{D.}~~]Si l'on prélève au hasard une vis, la probabilité qu'elle soit au moins de 2 cm est $\dfrac{3}{4}$.
\end{itemize}
\end{document}