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%tapuscrit : Claire Lacaze
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Baccalaur\'eat blanc}}
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\begin{center}    {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽ\'eat blanc~\decofourright\ f\'evrier 2008}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 6 points}\\

\medskip
\noindent \textbf{Partie A. R. O. C. }\\
\textbf{Pr\'e-requis : forme alg\'ebrique d'un nombre complexe}
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur, si et seulement si : $\overline{z} = - z$.
\item D\'emontrer qu'un nombre complexe $z$ est r\'eel, si et seulement si : $\overline{z} =  z$.
\item D\'emontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'\'egalit\'e : $z \times \overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \emph{Le plan complexe est rapport\'e au rep\`ere orthonormal \Ouv. On se propose de d\'emontrer, \`a l'aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux \`a deux distincts, d'affixes respectives $a,~b,~c$ et dont le centre du cercle circonsrit est situ\'e \`a l'origine O, a pour orthocentre le point H d'affixe $a + b + c$.}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B : \'etude d'un cas particulier}\\
On pose $a = 3 + \text{i}~ ;~b = - 1 + 3\text{i}~;~c = - \sqrt{5} - \text{i}\sqrt{5}.$\\
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Placer les points A, B, C et le point H d'affixe $a + b + c$, puis v\'erifier graphiquement que H est l'orthocentre du triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C : \'etude du cas g\'en\'eral}\\
ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et $a,~b,~c$ sont les affixes respectives des points A, B, C. 

\begin{enumerate}
\item  Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :
\[ a \times \overline{a} = b \times \overline{b} = c \times \overline{c}. \]
\item On pose $\omega \overline{b} \times c - b \times \overline{c}$.
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant la caract\'erisation d'un nombre imaginaire pur \'etablie dans la partie A, d\'emontrer que $\omega$ est un imaginaire pur.
		\item Verifier l'\'egalit\'e $(b + c)\left(\overline{b} - \overline{c}\right) = \omega$ et justifier que : $\dfrac{b+c}{b - c}	= \dfrac{\omega}{|b - c|^2}$.
		\item En d\'eduire que le nombre complexe $\dfrac{b+c}{b - c}$	est imaginaire pur.
 	\end{enumerate}
\item  Soit H le point d'affixe  $a+b+c$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $a,~ b$ et $c$ les affixes des vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\text{CB}}$.
		\item Prouver que $\left(\vect{\text{CB}}~ ;~\vect{\text{AH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, o\`u $k$ est un entier relatif quelconque.\\
(On admet de même que $\left(\vect{\text{CA}}~ ;~\vect{\text{BH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, avec $k$ entier relatif).
		\item Que repr\'esente le point H pour le triangle ABC ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 4 points}\\
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n}  + \dfrac{2}{u_{n}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x +
\dfrac{1}{x}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item \'Etudier le sens de variation de $f$ et tracer sa courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un rep\`ere orthonormal \Oij. (On prendra comme unit\'e $2$~cm).
		\item Utiliser le graphique pr\'ec\'edent pour construire les points A$_{0}$, A$_{1}$, A$_{2}$ et A$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O}~ ;~\vect{\imath}\right)$ d'abscisses respectives $u_{0},~
u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant  \sqrt{2}$.
		\item  Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2},~ f(x) \leqslant  x$. 
		\item  En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante \`a partir du rang 1. 
		\item  Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
	\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'\'equation \\$x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$. En d\'eduire sa valeur.
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 5 points}\\	\textbf{non sp\'ecialit\'e  math\'ematiques}\\
Un parachutiste tombe \`a la vitesse de $55$~m.s$^{-1}$ au moment o\`u son parachute s'ouvre. \\On fixe l'origine du temps ($t = 0$ en secondes) \`a ce moment-l\`a.\\
 Pour tout $t \in \R$, on note $v(t)$ la vitesse en m.s$^{-1}$ et $d(t)$ la distance parcourue en m\`etres \`a l'instant $t$.\\
 
\medskip
 
\noindent On admet que $y$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $v'(t) = 10 \left(1 - \dfrac{v^2(t)}{25}\right)$ :  (E)
 
 \medskip

\noindent Par ailleurs, il a \'et\'e \'etabli que la distance parcourue \`a l'instant $t$ est : $d(t) = \dfrac{1}{v(t) - 5}$.
\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi, pour un temps suffisamment grand, l\`a vitesse du parachutiste est stabilis\'ee.

On se propose donc de trouver une \'equation diff\'erentielle v\'erifi\'ee par $d$ et de la r\'esoudre afin de d\'eterminer la vitesse du parachutiste, lorsque celle-ci est stabilis\'ee.
\item   Questions de cours :
	\begin{enumerate}
		\item  Donner toutes les solutions de l'\'equation diff\'erentielle :	$y' - my = 0$.
		\item Donner toutes les solutions de l'\'equation diff\'erentielle :	 $y' - my = b$.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que : $v(t) = \dfrac{1}{d(t)}+ 5$.
		\item  Exprimer $v'(t)$ en fonction de $d(t)$ et de $d'(t)$.
		\item  Exprimer $v^2(t)$ en fonction de $d(t)$.
		\item  Prouver que $y$ est solution de (E) si et seulement si, $d$ est solution de l'\'equation: (E$')\quad  d' = 4d + 0,4$.
 	\end{enumerate}
\item   Donner la valeur de $v(0)$, puis calculer $d(0)$.\\
En d\'eduire l'expression de la distance $d(t)$ parcourue \`a l'instant $t$.
\item   Exprimer alors $v(t)$ en fonction de $t$ ; puis calculer la limite de $v(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Interpr\'eter ce r\'esultat.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 4  \hfill 5 points}\\
Pour tout r\'eel $k$ strictement positif, on consid\`ere la fonction $f_{k}$ d\'efinie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par 
\[f_{k}(x) = \ln \left(\text{e}^x + kx\right) - x.\]
 Soit $\mathcal{C}_{k}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f_{k}$, dans le plan muni d'un rep\`ere orthogonal \Oij{} (unit\'es graphiques : $5$~cm sur l'axe des abscisses et $10$~cm sur l'axe des ordonn\'ees).\\
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie A. \'Etude de la fonction \boldmath $f_{1}$ \unboldmath d\'efinie sur \boldmath $[0 ~;~ +\infty[$ \unboldmath par \boldmath $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + x\right) - x$. \unboldmath}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'_{1}(x)$ pour tout r\'eel de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$  et en d\'eduire le sens de variation de la fonction $f_{1}$.
\item  Montrer que pour tout r\'eel 
$x$ de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[,~ f_{1}(x) = \ln \left(1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En d\'eduire la limite de $f_{1}$ en $+\infty$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f_{1}$.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B. \'Etude et propri\'et\'es des fonctions \boldmath $f_{k}$. \unboldmath} (rappel : $k$ est un par215am\`etre r\'eel strictement positif)
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et en d\'eduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$.
\item   Montrer que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$, $f_{k}(x) = \ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En d\'eduire la limite de $f_{k}$ en $+\infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f_{k}$.
		\item  \'Etablir que pour tout r\'eel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[,~\ln (1 + x) \leqslant x$.
		\item  Montrer que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$,  on a $f_{k}(x) \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}$. 
 	\end{enumerate}
\item   D\'eterminer une \'equation de la tangente $T_{k}$ \`a $\mathcal{C}_{k}$ au point O.
\item   Soit $p$ et $m$ deux r\'eels strictement positifs tels que $p < m$. \'Etudier les positions relatives de $\mathcal{C}_{p}$, et $\mathcal{C}_{m}$.
\item   Tracer les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ainsi que leurs tangentes respectives $T_{1}$ et $T_{2}$ en O.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice} 5  \hfill 5 points}\\
\textbf{Sp\'ecialit\'e math\'ematiques}
\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere l'ensemble $A_{7} = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~ ;~6\}.$
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout \'el\'ement $a$ de $A_{7}$ \'ecrire dans le tableau ci-dessous l'unique \'el\'ement $y$ de $A_{7}$ tel que $ay \equiv  1\quad [ 7 ]$ (soit modulo $7$).\\
		
		\medskip
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$	&1	&2 	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y$	& 	& 	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
		\item Pour $x$ entier relatif, d\'emontrer que l'\'equation $3x \equiv  5\quad  [7 ]$ \'equivaut \`a $x \equiv  4 \quad [7 ]$.
		\item Si $a$ est un \'el\'ement de $A$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'\'equation $ax \equiv  0\quad  [7 ]$ sont les multiples de $7$.
	\end{enumerate}
\item Dans toute cette question $p$ est un nombre premier sup\'erieur ou \'egal \`a $3$.\\
On consid\`ere l'ensemble 
$A_{p} = \{ 1~;~ 2~;~\cdots~;~ p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inf\'erieurs \`a 
$p$. Soit $a$ un \'el\'ement de $A_{p}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  V\'erifier que $a^{p-2}$ est une solution de l'\'equation $ax \equiv  1 \quad  [p]$.
		\item On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p-2}$ par $p$. D\'emontrer que $r$ est l'unique solution dans $A_{p}$ de l'\'equation $ax \equiv 1 \quad [p]$.
		\item Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. D\'emontrer que $xy \equiv 0 \quad  [p]$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ ou $y$ est un multiple de $p$.
		\item Application : $p=31$.\\
	R\'esoudre dans $A_{31}$ les \'equations $2x \equiv  1 \quad [ 31]$ et $3x \equiv  1 \quad [ 31]$.\\
\`A l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents r\'esoudre dans $\Z$ l'\'equation\\ $6x^2  -5x+1 =0 \quad [31]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}