\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2010~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 8}\\ \textbf{1 à 14}\\ \textbf{15 à 18}\\ \textbf{19 à 23}\\ \textbf{24 à 25} \end{center} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE 1}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère les fonctions $f$,\, $g$ définies sur l'intervalle $I= ]-\infty~;~+\infty[$ et $h$ définie sur l'intervalle $J = ]0~;~+\infty[$ par : \begin{center}$\begin{array}{l c l} f(x) &=& 2x^2 -3 x -2\\ g(x) &=& 2\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x - 2\\ h(x) &=& 2 (\ln x)^2+ \ln \left(\dfrac{1}{x^3}\right) - 2\\ \end{array}$\end{center} où ln désigne la fonction logarithme népérien et e la fonction exponentielle.\\ On note $f'$,\, $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$.\\ On appelle $\left(E_1\right)$ l'équation $g(x) = 0$ et $\left(E_2\right)$ l'équation $h(x)= 0$.\\ On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives respectivement des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 1} Pour tout $x$ réel, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme: \medskip \textbf{a.~} $f(x) = 2\left[x + \dfrac{1}{2}\right]\left[\dfrac{x}{2} - 1\right]$ \textbf{b.~} $f(x) = (x + 2)(2x - 1)$ \textbf{c.~} $f(x) = (x - 2)(2x + 1)$ \textbf{d.~} $f(x) = 2(x + 2)\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$ \bigskip \textbf{Question 2} Pour tout $x$ réel, la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie par : \medskip \textbf{a.~} $g'(x) = 2\text{e}^{2x}- 3\text{e}^x$ \textbf{b.~} $g'(x) = 4\text{e}^x-3$ \textbf{c.~} $g'(x) = 4\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x$ \textbf{d.~} $g'(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 3\right)$ \bigskip \textbf{Question 3} Pour tout $x$ réel strictement positif; la fonction dérivée $h'$ de la fonction $h$ est définie par : \medskip \textbf{a.~} $h'(x) = 2\ln (x)- 3$ \textbf{b.~} $h'(x) = 4\dfrac{\ln x}{x} -\dfrac{3}{x}$ \textbf{c.~} $h'(x) = 4\ln x - 3 \ln \left(x^2\right)$ \textbf{d.~} $h'(x) = 4{\dfrac{\ln x}{x} - 3\dfrac{\ln \left(x^2\right)}{x}}$ \bigskip \textbf{Question 4} La fonction $g'$ \medskip \textbf{a.~} est de signe constant sur l'intervalle $I$ \textbf{b.~} change de signe niais ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ \textbf{c.~} s'annule au point $x = \ln 3 - \ln 4$ \textbf{d.~} s'annule au point $x = \dfrac{\ln 3}{\ln 4}$ \bigskip \textbf{Question 5} La fonction $h'$ \medskip \textbf{a.~} est de signe constant sur l'intervalle $J$ \textbf{b.~} s'annule au point $x = \text{e}^4 - \text{e}^3$ \textbf{c.~} s'annule au point $x = -\text{e}^{-1}$ \textbf{d.~} s'annule au point $x = -\text{e}^{\frac{3}{4}}$. \bigskip \textbf{Question 6} La fonction $f$ est \medskip \textbf{a.~} croissante et positive sur l'intervalle $[3/4~;~+\infty[$ \textbf{b.~} décroissante et négative sur l'intervalle $[-1/2~;~3/4]$ \textbf{c.~} négative et croissante sur l'intervalle $[-1/2~;~2]$ \textbf{d.~} positive uniquement sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ \bigskip \textbf{Question 7} L'équation $\left(E_1\right)$ \medskip \textbf{a.~} a une solution unique $x = \ln 2$ \textbf{b.~} n'admet pas de solution \textbf{c.~} a deux solutions $-2$ et $-1$ \textbf{d.~} a deux solutions $2$ et $1$. \bigskip \textbf{Question 8} La fonction h est \medskip \textbf{a.~} décroissante et négative sur l'intervalle $J$ \textbf{b.~} croissante et positive sur l'intervalle $J$ \textbf{c.~} décroissante sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{4}}\right]$ et croissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~+\infty\right[$ \textbf{d.~} croissante, négative sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{3}{4}}\right]$ et décroissante, positive sur l'intervalle $\left[\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~+\infty\right[$. \bigskip \textbf{Question 9} L'équation $\left(E_2\right)$ \medskip \textbf{a.~} a une solution unique $x = \text{e}^2$ \textbf{b.~} n'admet pas de solution \textbf{c.~} a deux solutions $-\text{e}^2$ et $\text{e}^{-1/2}$ \textbf{d.~} a deux solutions $\text{e}^2$ et $\dfrac{-1}{\text{e}^2}$ \bigskip \textbf{Question 10} La courbe $\mathcal{C}_f$ \medskip \textbf{a.~} admet un maximum au point $x = 3/4$ \textbf{b.~} est symétrique par rapport au point origine \textbf{c.~} est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées O$y$ \textbf{d.~} est symétrique par rapport à l'axe des abscisses O$x$ \bigskip \textbf{Question 11} La courbe $\mathcal{C}_g$ \medskip \textbf{a.~} admet un minimum au point $x = 3/4$ \textbf{b.~} admet un minimum au point $x = \ln 3 - \ln 4$ \textbf{c.~} est symétrique par rapport au point origine \textbf{d.~} est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées O$y$ \bigskip \textbf{Question 12} On a \medskip \textbf{a.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même minimum égal à $-25/8$ \textbf{b.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont des minimums différents \textbf{c.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même maximum égal à $-25/8$ \textbf{d.~} les fonctions $f$,\, $g$ et $h$ ont le même maximum égal à $25/8$ \bigskip \textbf{Question 13} La fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$ définie sur l'intervalle $I$ par \medskip \textbf{a.~} $G(x) = 2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x$ \textbf{b.~} $G(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^x - 2x - 2$ \textbf{c.~} $G(x) = \text{e}^{2x} - 3\text{e}^ - 2x$ \textbf{d.~} $G(x) =x\text{e}^{2x} -3x\text{e}^x - 2x$. \bigskip \textbf{Question 14} La fonction $h$ est la dérivée de la fonction $H$ définie sur l'intervalle $J$ par \medskip \textbf{a.~} $H(x) = (x\ln (x) - x)(\ln (x) -1) + x$ \textbf{b.~} $H(x) = \dfrac{2}{3} (\ln x)^3 - \dfrac{3}{2} (\ln x)^2 - 2x$ \textbf{c.~} $H(x) = 2x(\ln x)^2 -3x\ln(x) - 2x$ \textbf{d.~} $H(x) = \dfrac{4 \ln x -3}{x}$ \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère un placement à intérêts composés à 12\,\% par an. On note $B_0$ le capital initial et $B(n)$ le capital après $n$ années de placement dans ces conditions, $n$ étant un entier naturel non nul.\\ ln désigne la fonction logarithme népérien.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 15} Après $n$ années de placement, $n$ étant un entier strictement positif \medskip \textbf{a.~} $B(n) = 28 nB_0/25$ \textbf{b.~} le capital a augmenté de $3nB_0/25$,\, $B(n)$ est une suite arithmétique \textbf{c.~} $B(n) = \left(\dfrac{13}{12}\right)^nB_0$,\, $B(n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{13}{12}$ \textbf{d.~} $B(n) = \left(\dfrac{28}{25}\right)^nB_0$,\, $B(n)$ est une suite arithmétique de raison $1,12$. \bigskip \textbf{Question 16} On suppose, dans cette question, que le capital initial est \np{1000} euros. Après $2$ années de placement \medskip \textbf{a.~} le capital a augmenté de 24\,\% soit $240$ euros \textbf{b.~} le capital a augmenté de $120^2$ euros \textbf{c.~} le capital a augmenté de $\left[\frac{3}{25} + \left(\frac{3}{25}\right)^2\right] \times \np{1000}$ soit $134,40$ euros \textbf{d.~} le capital a augmenté de $\left[\frac{6}{25} + \left(\frac{3}{25}\right)^2\right] \times \np{1000}$ soit $254,40$ euros. \bigskip \textbf{Question 17} Le nombre $k$ d'années au bout duquel on détient un capital d'au moins \np{1700} euros à partir d'un capital initial de \np{1000} euros vérifie \medskip \textbf{a.~} $k < \dfrac{\ln \np{1700}}{\ln 1,12}$ \textbf{b.~} $k = \ln \dfrac{\np{1700}}{1,12}$ \textbf{c.~} $k$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{\ln \np{1700}}{\ln 1,12}$ \textbf{d.~} $k = 5$ \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère, maintenant, un placement à intérêts simples à 12\,\% par an. On note $C_0$ le capital initial et $C(n)$ le capital après $n$ années de placement dans ces conditions, $n$ étant un entier naturel non nul.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 18} Après $n$ années de placement, $n$ étant un entier strictement positif \medskip \textbf{a.~} $C(n) = 28 nC_0/25$ \textbf{b.~} le capital a augmenté de $3nC_0/25$ \textbf{c.~} $C(n) = \left(\dfrac{13}{12}\right)nC_0$ \textbf{d.~} le capital a augmenté de $\left(\dfrac{3}{25}\right)^nC_0$ \begin{center} \textbf{PARTIE III}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [10~;~90]$ par : \[f(x) = \dfrac{110 \ln (x) - 220}{x}.\]\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 19} La fonction $f$ \medskip \textbf{a.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110}{x}$ pour tout $x $appartenant à l'intervalle $I$ \textbf{b.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110(3 - \ln(x)}{x^2}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$ \textbf{c.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = - \dfrac{110}{x^3}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$ \textbf{d.~} a pour dérivée la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{110(\ln (x)- 3)}{x^2}$pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$ \bigskip \textbf{Question 20} Sur l'intervalle $I$, l'équation $\ln(x) - 3 = 0$ \medskip \textbf{a.~} n'admet pas de solution \textbf{b.~} admet plus d'une solution \textbf{c.~} admet une solution unique $x = \ln 3$ \textbf{d.~} admet une solution unique $x = \text{e}^3$. \bigskip \textbf{Question 21} Sur l'intervalle $I$, l'inéquation $\ln (x) - 3 < 0$ \medskip \textbf{a.~} n'admet pas de solution \textbf{b.~} a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ \textbf{c.~} a pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ \textbf{d.~} admet une seule solution \bigskip \textbf{Question 22} La fonction $f$ est \medskip \textbf{a.~} décroissante sur l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ et croissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^3~;~90\right]$ \textbf{b.~} croissante sur l'intervalle $I$ \textbf{c.~} croissante sur l'intervalle $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ et décroissante sur l'intervalle $\left[\text{e}^3~;~90\right]$ \textbf{d.~} décroissante sur l'intervalle $I$ \bigskip \textbf{Question 23} La fonction $f$ \medskip \textbf{a.~} n'admet pas d'extremum sur l'intervalle $I$ \textbf{b.~} admet un minimum sur l'intervalle $I$ qui vaut $f\left(\text{e}^3\right) = 5,5$ \textbf{c.~} admet, sur l'intervalle $I$, un maximum au point $x = \text{e}^3$ qui vaut $- 5,5$ \textbf{d.~} est, sur l'intervalle $I$, inférieure à $\dfrac{330 - 220}{\text{e}^3}$ \begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère une progression arithmétique $\left(u_n\right)$,\, $n$ entier supérieur ou égal à 1, de premier terme $u_1$ et de raison $r$ telle que la somme $S_n$ de ses $n$ premiers termes est donnée par la formule $S_n = 3n^2 + 4n$ pour tout $n$ entier strictement positif. \\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 24} Pour tout $n$ entier strictement positif on a \medskip \textbf{a.~} $u_n = u_1+ (n - 1)r$ \textbf{b.~} $u_n = u_1r^{n-1}$ \textbf{c.~} $S_n = \dfrac{n\left(u_1 + u_1 + (n-1)r\right)}{2}$ \textbf{d.~} $S_n = u_1\dfrac{\left(1 - r^n\right)}{(1-r)}$ pour $r$ différent de 1 \bigskip \textbf{Question 25 :} \medskip On en déduit \medskip \textbf{a.~} $u_1 = 6$ et $r = 7$ \textbf{b.~} $u_1 = 7$ et $r = 5$ \textbf{c.~} $u_n = 5n + 2$ pour tout $n$ entier strictement positif \textbf{d.~} $u_n= 7 \times 6^{n-1}$ pour tout $n$ entier strictement positif \end{document}