\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2015~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{\large Questions liées} \bigskip \textbf{\large 1 à 3}\\[6pt] \textbf{4 à 9}\\[6pt] \textbf{10 à 11} \end{center} \bigskip On considère le nombre complexe $z =-1 + \text{i}\sqrt{3}$. \medskip \textbf{Question 1 :} \medskip \textbf{A.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ \textbf{B.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}$ \textbf{C.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{-\text{i}\frac{4\pi}{3}}$ \textbf{D.~} Une forme exponentielle de $z$ est $z = 2\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ \bigskip \textbf{Question 2 :} \medskip \textbf{A.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \textbf{B.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = -\dfrac{1}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \textbf{C.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = \dfrac{1}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \textbf{D.~} La forme algébrique $z^{-1}$ est $z^{-1} = -\dfrac{1}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \bigskip \textbf{Question 3 :} \medskip \textbf{A.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = -2 - 2\text{i}\sqrt{3}$. \textbf{B.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$. \textbf{C.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = -8$. \textbf{D.~} La forme algébrique de $z^2$ est $z^2 = 8$. \bigskip \begin{center} \textbf{PARTIE II} \end{center} Pour tout nombre entier naturel $n$ , on définit le terme général de la suite $\left(J_n\right)$ par l'intégrale suivante : $J_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^n}{1 + t^2}\:\text{d}t$. \bigskip \textbf{Question 4 :} \medskip On établit que \textbf{A.~} $J_1 = \ln 2$. \textbf{B.~} $J_1 = 2\ln 2$. \textbf{C.~} $J_1 = \dfrac{\ln 2 - 1}{2}$. \textbf{D.~} $J_1 = \dfrac{\ln 2}{2}$. \bigskip \textbf{Question 5 :} \medskip On démontre que \textbf{A.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+1}$. \textbf{B.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{2}{n+2}$. \textbf{C.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+2}$. \textbf{D.~} $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n+1}$. \bigskip \textbf{Question 6 :} \medskip On établit que \textbf{A.~} $J_3 = \dfrac{1 - \ln 2}{2}$. \textbf{B.~} $J_3 = \dfrac{4 - 3\ln 2}{6}$. \textbf{C.~} $J_3 = \dfrac{-1 + 2 \ln 2}{4}$. \textbf{D.~} $J_3 = \dfrac{-1 + 6\ln 2}{12}$. \bigskip \textbf{Question 7 :} \medskip On établit que \textbf{A.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln 2 + \dfrac{1}{2}$. \textbf{B.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln \left(2\sqrt{\text{e}}\right)$. \textbf{C.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \ln \left(\sqrt{2\text{e}}\right)$. \textbf{D.~} $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t + 2t^3 + 2t^5}{1 + t^2}\:\text{d}t = \dfrac{\ln 2 + 1}{2}$. \bigskip \textbf{Question 8 :} \medskip On démontre que la suite $\left(J_n\right)$ est \textbf{A.~} convergente car elle est croissante majorée. \textbf{B.~} divergente car elle est croissante non majorée. \textbf{C.~} divergente car elle est décroissante non minorée. \textbf{D.~} convergente car elle est décroissante minorée. \bigskip \textbf{Question 9 :} \medskip En utilisant l'un des résultats précédents, on démontre que \textbf{A.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 0$. \textbf{B.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = + \infty$. \textbf{C.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = - \infty$. \textbf{D.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_n = 1$. \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \medskip Une population de grenouilles comptait \np{1000} têtes en 2010, année de l'ouverture d'une nouvelle autoroute proche de leur lieu de vie. On a remarqué que, d'une année sur l'autre, la moitié de la population des grenouilles décroissait de 40\,\% tandis que l'autre moitié augmentait de $100$ éléments. On appelle $G_n$ le nombre de grenouilles l'année $2010 + n$. \bigskip \textbf{Question 10 :} \medskip On démontre que \textbf{A.~} $G_{n+1} =0,9 \times G_n + 100$. \textbf{B.~} $G_{n+1} =0,8 \times G_n + 100$. \textbf{C.~} $G_{n+1} =1,1 \times G_n + 100$. \textbf{D.~} $G_{n+1} = 1,6 \times G_n + 100$. \bigskip \textbf{Question 11 :} \medskip À l'aide d'un raisonnement par récurrence, on démontre que \textbf{A.~} $G_n = 500 \times 1,6^n + 500$. \textbf{B.~} $G_n = 400 \times 1,1^n + 600$. \textbf{C.~} $G_n = 500 \times 0,8^n + 500$. \textbf{D.~} $G_n = 500 \times 0,9^n + 500$. \bigskip \textbf{Question 12 :} \medskip On établit que \textbf{A.~} La population de grenouilles va s'éteindre. \textbf{B.~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers $600$. \textbf{C.~} La population de grenouilles ne va pas s'éteindre mais va décroître vers $500$. \textbf{D.~} La population de grenouilles va croître. \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center} \medskip On donne les points de l'espace suivants : \[\text{A} (1~;~2~;~3), \text{B} (-1~;~-2~;~5), \text{C}(1~;~3~;~-2), \text{D} (0~;~0~;~2)\] \bigskip \textbf{Question 13 :} \medskip $t$ étant un nombre réel, on démontre que \textbf{A.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&-2+t\\ y &=& -4 +2t\\ z &=& 2+3t\end{array}\right.$ \textbf{B.~} La droite (AB)a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 - t \\y&=&2- 2t \\z&=&3-t\end{array}\right.$ \textbf{C.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1-2t \\y &=& 2 - 4t \\z &=&3 + 2t\end{array}\right.$ \textbf{D.~} La droite (AB) a pour représentation paramétrique le système $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&-1 + t\\ y &=& -2 +2t \\z&=& -1+3t\end{array}\right.$ \bigskip \textbf{Question 14 :} \medskip On démontre que \textbf{A.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $\phantom{-}x + 2y - z +3 = 0$. \textbf{B.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $-x - 2y + z + 4 = 0$. \textbf{C.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $\phantom{-}x + 2y + z + 4 = 0$. \textbf{D.~} Le plan médiateur $(P)$ du segment [AB] a pour équation cartésienne, $- x - 2y + z + 3 = 0$. \bigskip \textbf{Question 15 :} \medskip On démontre que : \textbf{A.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $\phantom{-}5x-3y-z+2=0$. \textbf{B.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- 5x + 3y + z - 2 = 0$. \textbf{C.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- \phantom{5}x - 3y + 4z - 2 = 0$. \textbf{D.~} Le plan $\left(P'\right)$ perpendiculaire au plan $(P)$ et contenant la droite (CD) a pour équation cartésienne, $- \phantom{5}x - 3y + 4z + 2 = 0$. \end{document}