\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = { 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2012~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE} \bigskip \textbf{\large QUESTIONS LIÉES} 1 à 9 10 à 21 22 à24 \end{center} \bigskip \textbf{\large PARTIE I} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Une enquête portant sur $500$ clients d'un concessionnaire automobile a montré que 80\,\% des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70\,\% des clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat, alors que 20\,\% seulement des clients n'ayant pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On en déduit que \textbf{A.}~ seuls 400 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur \textbf{B.}~ plus de 401 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur \textbf{C.}~ moins de 399 clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur \textbf{D.}~ plus de 99 clients n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur \item Parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur \textbf{A.} 300 ont effectué un achat \textbf{B.}~plus de 281 ont effectué un achat \textbf{C.} moins de 100 n'ont pas effectué un achat \textbf{D.}~ plus de 140 n'ont pas effectué d'achat \item Parmi les clients qui n'ont pas été conseillés par un vendeur \textbf{A.} plus de 21 ont fait un achat \textbf{B.}~moins de 21 ont fait un achat \textbf{C.} 100 ont fait un achat \textbf{D.}~ 80 n'ont pas effectué d'achat \item Sur l'échantillon des 500 clients considérés \textbf{A.} 300 n'ont pas effectué d'achat \textbf{B.}~ 280 au plus ont effectué un achat \textbf{C.} seuls 300 ont effectué un achat \textbf{D.}~ plus de 201 n'ont pas effectué d'achat \bigskip On note $A$ l'évènement \og le client a effectué un achat\fg{} et $C$ l'évènement \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur\fg. \medskip \item La probabilité de l'évènement \textbf{A.}~$A$ vaut $P(A) = 4/5$ \textbf{B.}~A vaut $P(A) = 7/4$ \textbf{C.}~C vaut $P(C) = 4/5$ \textbf{D.}~C vaut $P(C) = 3/5$ \item L'évènement \textbf{A.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté ou a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg \textbf{B.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté et a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg \textbf{C.}~ $A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté et a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg \textbf{D.}~$A \cap C$ représente l'évènement \og le client a acheté ou a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg \item L'évènement $B$ \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur et a acheté \fg{} a pour probabilité \textbf{A.}~$P(B) = P(A \cup C) = 28/50$ \textbf{B.}~$P(B) = p(A \cap C) = 3/5$ \textbf{C.}~$P(B) = p(A \cap C) = 2/5$ \textbf{D.}~$P(B) = p(A \cap C) = 7/10$ \item L'évènement $D$ \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur ou a acheté \fg a pour probabilité \textbf{A.}~$P(D) = P(A \cup C)= P(A) + P(C)$ \textbf{B.}~$P(D) = P(A \cup C)= (4/5) + (3/5) - (28/50) = 84/100$ \textbf{C.}~$P(D) = p(A \cap C) = 84/100$ \textbf{D.}~$P(D) = p(A \cap C) = P(A)P(C) = 48/100$ \item On choisit, au hasard, un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité. La probabilité de choisir un client parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur est \textbf{A.}~la probabilité de réalisation de l'évènement $C$ sachant que $A$ est réalisé \textbf{B.}~la probabilité de réalisation de l'évènement $A$ sachant que $C$ est réalisé \textbf{C.}~égale à $P_A(C) = 14/15 = p(A \cap C)/P(A)$ \textbf{D.}~égale à $P_A(C) = 1/15 = P(A \cap C)/P(A)$ \bigskip \begin{center} \textbf{PARTIE II}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Une entreprise produit et vend des bateaux. L'objectif de l'étude est de comparer les recettes et les coûts induits par cette activité. On note $x$ le nombre de bateaux fabriqués chaque semaine, $x$ étant un nombre entier compris entre $3$ et $12$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$, des nombres réels, par \[f(t) = 0,25t^2 + t + 20,25.\] Le coût total $C(x)$ de production hebdomadaire de $x$ bateaux, exprimé en milliers d'euros, est défini par : \[C(x) = 3f(x).\] \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\R$ par \textbf{A.}~$f'(x)= 0,5x$ \textbf{B.}~$f'(x)= 0,5x + 1$ \textbf{C.}~$f'(x)= 0,5x + 21,25$ \textbf{D.}~$f'(x)= 0,25x+1$ \item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ a pour valeur, au point $x = 0$, \textbf{A.}~$f'(0) = 20,25$ \textbf{B.}~$f'(0) = 0$ \textbf{C.}~$f'(0) = 21,25$ \textbf{D.}~$f'(0) = 1$ \item La courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé est notée $\mathcal{C}_f$. On a alors \textbf{A.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0 \textbf{B.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente verticale au point d'abscisse 0 \textbf{C.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ \textbf{D.}~$\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-1$ \item La fonction $f$ est \textbf{A.}~croissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{B.}~décroissante sur $]-\infty~;~0]$ \textbf{C.}~décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~-2]$ et croissante sur l'intervalle $[-2~;~+\infty[$ \textbf{D.}~décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$ et croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Tous les bateaux fabriqués par l'entreprise sont vendus et elle doit fixer le prix de son produit. On note $R_i(x)$ la recette, exprimée en milliers d'euros, occasionnée par la vente de $x$ bateaux à un tarif $p_i$ où $i$ est un entier.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La première proposition de prix $p_1$ est de \np{16500}~euros par bateau, la fonction $R_1$ définissant la recette correspondante vérifie, pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \textbf{A.}~$R_1(x) = \np{16500} x$ \textbf{B.}~$R_1(x)= 165x$ \textbf{C.}~$R_1(x) = 1,65x$ \textbf{D.}~$R_1(x) = 16,5 x$ \item La seconde proposition de prix est un tarif unitaire $p_2$ de \np{18900}~euros, la fonction $R_2$ définissant la recette correspondante vérifie \textbf{A.}~$R_2(x) = \np{18900}x$ pour tout x réel supérieur ou égal à 3 \textbf{B.}~$R_2 = 189x$ pour tout x réel supérieur ou égal à 3 \textbf{C.}~la courbe représentant $R_2$ est une droite passant par les points (0~;~0) et (10~;~189) \textbf{D.}~la courbe représentant $R_2$ est une droite passant par les points (0~;~0) et (10~;~\np{189000}) \item Les fonctions $R_1$ et $R_2$ vérifient \textbf{A.}~$R_2(x) > C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \textbf{B.}~$R_1(x) > C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \textbf{C.}~$R_1(x) < C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \textbf{D.}~$R_2(x) < C(x)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \item Dans le cas de la seconde proposition de prix $p_2$ le bénéfice généré est défini par la fonction $B_2$ vérifiant \textbf{A.}~$B_2(x) = -0,25 x^2 + 5,3x - 20,25$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 5 \textbf{B.}~$B_2(x) = 3\left(-0,25x^2 + 5,3x -20,25\right)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 5 \textbf{C.}~$B_2(x) = 3\left(0,25x^2 - 5,3 x + 20,25\right)$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \textbf{D.}~$B_2(x) = 0,25x^2 - 5,3 x + 20,25$ pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 3 \item La fonction $B_2$ est \textbf{A.}~croissante sur l'intervalle [5~;~12] \textbf{B.}~décroissante sur l'intervalle [5~;~12] \textbf{C.}~décroissante sur l'intervalle [5~;~10,6] et croissante sur l'intervalle [10,6~;~12] \textbf{D.}~croissante sur l'intervalle [5~;~10,6] et décroissante sur l'intervalle [10,6~;~12] \item La fonction $B_2$ \textbf{A.}~admet un maximum au point $x = 10,6$ sur l'intervalle [5~;~12] \textbf{B.}~admet un minimum au point x = 10,6 sur l'intervalle [5~;~12] \textbf{C.}~n'admet pas de maximum sur l'intervalle [5~;~12] \textbf{D.}~n'admet pas d'extremum sur l'intervalle [5~;~12] \item Sur l'intervalle [3~;~12], l'équation $R_2(x) = C(x)$ \textbf{A.}~n'admet pas de solution \textbf{B.}~admet au moins une solution car les fonctions $R_2$ et $C$ s'annulent au point $x = 0$ \textbf{C.}~a une solution unique car les courbes représentant les fonctions $R_2$ et $C$, dans un repère orthonormé, se coupent une seule fois \textbf{D.}~admet 2 solutions car les courbes représentant les fonctions $R_2$ et $C$, dans un repère orthonormé, se coupent deux fois \item Dans le cas de la seconde proposition de prix $p_2$ le bénéfice maximum hebdomadaire est \textbf{A.}~obtenu par une vente hebdomadaire de $11$ bateaux \textbf{B.}~obtenu une vente hebdomadaire de $10$ bateaux \textbf{C.}~de \np{23400} euros \textbf{D.}~de \np{2340} euros \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Disposant d'un capital de \np{10000} euros un investisseur étudie les offres de placement de deux banques différentes.\\ La banque A propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 3,5\,\%.\\ La banque B propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 2\,\%, les intérêts obtenus sont augmentés d'une prime annuelle de $170$ euros intégrée au capital, ainsi les intérêts et la prime produisent des intérêts pour l'année suivante\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On étudie l'offre de la banque A et on note $\left(a_n\right)$ la suite dont le terme général $a_n$ représente, pour tout entier naturel $n$, le capital, en euros, de l'investisseur au début de l'année $n$. La suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie \textbf{A.}~est une suite géométrique de raison $1,035$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite arithmétique \textbf{B.}~n'est pas une suite géométrique mais est une suite arithmétique de raison 3,5\,\% et de premier terme \np{10000} \textbf{C.}~est une suite arithmétique de raison $350$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite géométrique \textbf{D.}~est une suite géométrique de raison $350$ et de premier terme \np{10000} \item La suite $\left(a_n\right)$ vérifie, pour tout $n$ entier positif \textbf{A.}~$a_n = a_0q^n$,\, $q = 1,035$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite \textbf{B.}~$a_n = a_0 + nr$,\, $r$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite \textbf{C.}~$a_n = a_0 + q^n$,\, $q = 1,035$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite \textbf{D.}~$a_n = a_0nr$,\,\ $r$ désignant la raison et $a_0$ le premier terme de la suite \item On étudie l'offre de la banque B et on note $\left(b_n\right)$ la suite dont le terme général $b_n$ représente, pour tout entier naturel $n$, le capital, en euros, de l'investisseur au début de l'année $n$. La suite $\left(b_n\right)$ ainsi définie \textbf{A.}~ est une suite géométrique de raison $1,02$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite arithmétique \textbf{B.}~est une suite arithmétique de raison $370$ et de premier terme \np{10000} mais n'est pas une suite géométrique \textbf{C.}~vérifie, pour tout $n$ entier positif, $b_{n+1} = b_n q +170$, \, $q = 1,02$ et $b_0$ désigne le premier terme de la suite \textbf{D.}~vérifie, pour tout $n$ entier positif, $b_n = b_0 + q^n$,\, $q = 1,02$ désignant la raison et $b_0$ le premier terme de la suite \bigskip \begin{center} \textbf{PARTIE IV} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I= [-3~;~3]$ par \[g(x) = (x + 2) \text{e}^{-x},\] e désignant la fonction exponentielle.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soient $\alpha$ un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 et $\beta$ un nombre réel strictement compris entre $-2$ et $-1$. On établit que \textbf{A.}~$g(\alpha) > \text{e} > g(\beta)$ car la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $I$ \textbf{B.}~$g(0) > g(\alpha) > 3\text{e}^{-1}$ car la fonction g est décroissante sur l'intervalle $[-1~;~3]$ \textbf{C.}~$g(0) > g(\beta) > 0$ car la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[-3~;~0]$ \textbf{D.}~l'équation $g(x) = 3$ n'a pas de solution sur l'intervalle $I$ \end{enumerate} \end{document}