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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Concours d'entrée à l'ENAC} 
\lfoot{\small{Techniciens de l'aéronautique}}
\rfoot{\small{juin 2015}}   
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Concours d'entrée à l'ENAC juin 
2015~\decofourright\\[4pt]techniciens de l'aéronautique}} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{PARTIE 1}
\end{center}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
 On considère la fonction polynôme $Q$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$Q(x) = - 2x^3 + 3x^2 + 1$, et la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
$] -1~;~+\infty[$, par $g(x) = \dfrac{1- x}{1 + x^3}$. On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

En étudiant les variations de la fonction polynôme $Q$, on démontre que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le polynôme $Q$ n'admet aucune racine réelle.
\item Le polynôme $Q$ admet une unique racine réelle notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]1~;~2[.
\item Le polynôme $Q$ admet uniquement deux racines réelles notées $\alpha$ et $\beta$ appartenant
respectivement aux intervalles ]1~;~2[ et ]0~;~1[.
\item Le polynôme $Q$ admet uniquement trois racines réelles notées $\alpha$, $\beta$  et $\gamma$ appartenant respectivement aux intervalles ]1~;~2[, ]0~;~1[ et $]- \infty~;~0[$ .
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

On démontre que :

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, la fonction dérivée de la fonction $g$ est $g'(x) = \dfrac{- Q(x)}{\left(1 + x^3 \right)^2}$.
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, la fonction dérivée de la fonction $g$ est $g'(x) = \dfrac{Q(x)}{\left(1 + x^3 \right)^2}$.
\item La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty[$ et décroissante sur l'intervalle $]- 1~,;~\alpha[$.
\item La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~,;~\alpha[$ et décroissante sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On établit que:

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 1$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to - 1^{+}} g(x) = + \infty$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to - 1^{+}} g(x) = - \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On établit que la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ admet une tangente $(\Delta)$
au point d'abscisse $0$ :

\begin{enumerate}
\item qui a pour équation : $y = - x + 1$.
\item qui a pour équation : $y = x + 1$.
\item qui a pour équation : $y = x - 1$.
\item qui a pour équation : $y = -x - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

On démontre que la tangente $(\Delta)$ est:

\begin{enumerate}
\item au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $]- 1~;~1[$.
\item au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $]- 1~;~1[$.
\item au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $]- 1~;~0[$ et au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle ]0~;~1[.
\item au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle] -1~;~0[ et au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle ]0~;~1[.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip 

En déterminant trois réels$a,\; b$ et $c$ tels que $g(x) =  \dfrac{a}{x + 1} + \dfrac{bx + c}{x^2 - x +1}$ , on établit  que :

\begin{enumerate}
\item $g(x) = \dfrac{2}{3}\times  \dfrac{1}{x+1} -  \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2x - 1}{x^2 - x + 1}$.
\item $g(x) = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2x - 1}{x^2 - x + 1}$.
\item $g(x) = - \dfrac{2}{3}\times  \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2x - 1}{x^2 - x + 1}$
\item $g(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{x+1} - \dfrac{2x - 1}{x^2 - x + 1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip 

La fonction $g$ est une fonction continue sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, donc elle est
intégrable sur cet intervalle. Ainsi $G(x) = \displaystyle\int_0^x g(t)\:\text{d}t$ est définie et on établit que :

\begin{enumerate}
\item $G(1) = 2\ln 2$.
\item $G(1) = \dfrac{2}{3}\ln 2$.
\item $G(1) = - \dfrac{2}{3}\ln 2$.
\item $G(1) = \dfrac{3}{2}\ln 2$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Soit $f$ la fonction définie par l'expression suivante : 

\[f(x) = (1 - x )\sqrt{1 - x^2}.\]

On note $\mathcal{C}_ f$ la courbe représentative de cette fonction.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 8}

\medskip 

On établit que :

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[- 1~;~1]$.
\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]- \infty~;~- 1[$.
\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~1[$ .
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip 

On démontre que la fonction $f$ :

\begin{enumerate}
\item n'est pas dérivable à gauche de 1.
\item est dérivable à droite de $- 1$.
\item est dérivable à gauche de 1.
\item n'est pas dérivable à droite de $- 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10}

\medskip 

On démontre que la courbe représentative $\mathcal{C}_ f$ de cette fonction $f$ :

\begin{enumerate}
\item admet, au point d'abscisse 1, une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item admet, au point d'abscisse $- 1$, une tangente parallèle à l'axe des ordonnées.
\item admet, au point d'abscisse 1, une demi-tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item admet, au point d'abscisse $- 1$, une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 11}

\medskip 

Pour $x \in ]- 1~;~1[$ on établit que la fonction $f$ admet pour dérivée :

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{(x -1) (2x + 1)}{2\sqrt{1 - x^2}}$.
\item $f'(x) = \dfrac{(x -1) (2x + 1)}{\sqrt{1 - x^2}}$.
\item $f'(x) = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$.
\item $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(3x + 2)}{2\sqrt{1 - x^2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12}

\medskip 

À partir d'un tableau de variation, on démontre que la courbe représentative $\mathcal{C}_ f$
admet au point d'abscisse $- \dfrac{1}{2}$ :

\begin{enumerate}
\item un maximum qui vaut $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
\item un minimum qui vaut $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\item un maximum qui vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
\item un minimum qui vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13}

\medskip  

On donne $\sqrt{3} \approx  1,7$. On démontre que l'équation $f(x) = 1$ :

\begin{enumerate}
\item n'admet pas de solution.
\item admet une solution et une seule.
\item admet au plus deux solutions.
\item admet au moins deux solutions.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Dans un aéroport d'une petite ville européenne, une compagnie aérienne possède deux guichets
d'enregistrement et, pour ces deux guichets, une unique file d'attente.\\
On appelle $X_i$ la variable aléatoire de temps passé par chaque voyageur au guichet \no $i$,\: $i$ pouvant être égal à 1 ou à 2.\\
Le temps est exprimé en minutes.\\
On suppose que les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, toutes les deux de même loi
exponentielle de paramètre $1/5$.\\
On donne $\dfrac{1}{\text{e}} \approx  0,367$ où e désigne la constante de Néper.\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A}}\\
Deux voyageurs arrivent simultanément aux deux guichets.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 14}

\medskip 

On calcule, au centième près :

\begin{enumerate}
\item $P(X \leqslant 5) \approx 0,37$.
\item $P(X \leqslant 5)\approx  0,63$.
\item $P(X \leqslant 5)\approx  0,38$.
\item $P(X \leqslant 5)\approx  0,64$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Question 15}

\medskip 
 
Soit l'évènement $E_1$ : \og Les deux guichets se libèrent dans les cinq minutes \fg.

On calcule, au centième près:
 
\begin{enumerate}
\item $P\left(E_1\right) \approx 0,40$ car les deux évènements sont incompatibles.
\item $P\left(E_1\right) \approx 0,14$ car les deux évènements sont incompatibles.
\item $P\left(E_1\right) \approx 0,40$ car les deux évènements sont indépendants.
\item $P\left(E_1\right) \approx 0,14$ car les deux évènements sont indépendants.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Question 16}

\medskip 
 
Soit l'évènement $E_2$ : \og  L'un des deux guichets se libère dans les cinq minutes \fg.

On calcule, au centième près :
 
\begin{enumerate}
\item $P\left(E_2\right) \approx 0,87$.
\item $P\left(E_2\right) \approx 0,47$.
\item $P\left(E_2\right) \approx 0,40$.
\item $P\left(E_2\right) \approx 0,14$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{B}}\\
Vous êtes le premier dans l'unique file d'attente.\\
Les deux guichets viennent d'être pris simultanément par les deux voyageurs précédents.\\
On appelle $Z$ la variable égale à votre temps d'attente, temps exprimé en minutes.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 17}

\medskip 

On calcule, au centième près:

\begin{enumerate}
\item $P(Z \leqslant 5) \approx 0,87$.
\item $P(Z \leqslant 5) \approx 0,14$.
\item $P(Z \leqslant 5) \approx 0,40$.
\item $P(Z \leqslant 5) \approx 0,48$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18}

\medskip  

Soit l'évènement $E_3$ : \og Vous attendez plus de $t$ minutes \fg. 

On montre que :

\begin{enumerate}
\item $P(Z \geqslant t) = \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$.
\item $P(Z \geqslant t) = 2 \times \text{e}^{- \frac{1}{5}t}$.
\item $P(Z \geqslant t) = 1 - \text{e}^{- \frac{2}{5}t}$.
\item $P(Z \geqslant t) = 1 - 2\times \text{e}^{- \frac{1}{5}t}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19}

\medskip 

L'espérance de votre temps d'attente est :

\begin{enumerate}
\item 12 secondes.
\item 5 minutes.
\item 24 secondes.
\item 2 minutes 30 secondes.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\np{6000000} de rats vivent paisiblement dans une région et se répartissent de la manière suivante :\\
\np{3000000} de rats des villes, \np{3000000} de rats des champs ; le nombre total de rats ne change pas.\\
Mais il est possible d'observer des mouvements de population entre les rats des villes et les rats des
champs.\\
Ainsi, on remarque que tous les ans, 20\,\% des rats des champs deviennent des rats des villes, et 10\,\%
des rats des villes deviennent des rats des champs. On note, en millions, $v_n$ le nombre de rats des 
villes et $c_n$ le nombre de rats des champs en fin d'année $n$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 20}

\medskip 

On démontre que:

\begin{enumerate}
\item $v_{n+1} = 0,9v_n + 0,1c_n$.
\item $v_{n+1} = 0,9v_n + 0,2c_n$.
\item $v_{n+1} = 0,1v_n + 0,8c_n$.
\item $v_{n+1} = 0,8v_n + 0,1c_n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 21}

\medskip  

Sachant que $v_n + c_n = 6$, on peut en déduire que :

\begin{enumerate}
\item $v_{n+1} = 0,8v_n + 0,6$.
\item $v_{n+1} = 0,7v_n + 1,2$.
\item $c_{n+1} = O,5c_n + 0,6$.
\item $c_{n+1} = 0,7c_n + 0,6$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 22}

\medskip 

On note $x_n = v_n - 4$ et $y_n = C_n - 2$. On démontre que :

\begin{enumerate}
\item $\left(x_n\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $q = 0,5$.
\item $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison  $q = 0,7$.
\item $\left(y_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison  $q = 0,5$.
\item $\left(y_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison  $q = 0,7$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Question 23}

\medskip 

On déduit que :

\begin{enumerate}
\item $x_n = (0,7)^n$.
\item $x_n = - (0,5)^n$.
\item $y_n = (0,5)^n$.
\item $y_n = - (0,7)^n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 24}

\medskip  

On déduit que:

\begin{enumerate}
\item $v_n = 4 + 0,7^n$.
\item $v_n = 4 + 0,5^n$.
\item $c_n = 2 + 0,5^n$.
\item $c_n = 2 - 0,7^n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 25}

\medskip 

On démontre que :

\begin{enumerate}
\item Le nombre de rats des villes va tendre à disparaître.
\item Le nombre de rats des champs va tendre à disparaître.
\item Les nombres de rats des villes et de rats des champs vont tendre vers une stabilisation
respective de $v = \np{4000000}$ et $c = \np{2000000}$.
\item Les nombres de rats des villes et de rats des champs vont tendre vers une stabilisation
respective de $v = \np{2000000}$ et $c = \np{4000000}$.
\end{enumerate}
\end{document}