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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Concours d'entrée à l'ENAC} 
\lfoot{\small{Techniciens de l'aéronautique}}
\rfoot{\small{juin 2016}}   
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Concours d'entrée à l'ENAC juin 
2016~\decofourright\\[4pt]Techniciens de l'aéronautique}} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{PARTIE 1}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Nous rappelons que  $\text{e}^{\text{i}x} = \cos x + \text{i}\sin x$ où i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ et $x$ est un nombre réel.\\
Si $a$ est un nombre complexe, $|a|$ désigne le module de $a$ et arg$(a) = \theta\,[2\pi]$ son argument à $2k\pi$ près, $k$ étant un nombre entier relatif.\\
Autrement dit, arg $(a) = 0 + 2k\pi$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

On en déduit que :

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$
\item $\cos x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} + \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$
\item $\sin x = \dfrac{\text{e}^{\text{i}x} - \text{e}^{-\text{i}x}}{2\text{i}}$.
\end{enumerate}

\medskip

On démontre alors que:

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 + \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 + \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 - \text{e}^{\text{i}x} = \left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = - 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\left(\cos \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$
\item $1 - \text{e}^{\text{i}x} = 2\text{i}\left(\sin \dfrac{x}{2}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{x}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

On en déduit que:

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = 1$ et  et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = \sqrt{3}$ et  et arg $\left(1  + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = \sqrt{3}$ et  et arg $\left(1  + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = 1$ et  et arg $\left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\quad [2\pi]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\sin \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv - \dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|1 - \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| = 2\cos \frac{\pi}{8}$ et  et arg $\left(1 -\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right) \equiv -\dfrac{3\pi}{8}\quad [2\pi]$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 2\sin \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$
\item $\left|2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right| = 4\cos \dfrac{\pi}{8}$  et arg$\left(2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = - \dfrac{\pi}{8}\quad [2\pi]$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}

\textbf{PARTIE II}

\end{center}

\textbf{Question 8 :} l'équation $6x^2 - x -1 = 0$ admet pour solutions les nombres :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{1}{3}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $- \dfrac{1}{4}$ et $- \dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 9 :} $x$ est solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ si est seulement si :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $x \in  \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+ \infty \right[$.
\item $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right[$.
\item $x \in \left[- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right]$.
\item $x \in \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right[ \cup \left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10 :} on choisit au hasard un nombre réel $x$ dans l'intervalle $[-1~;~0]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est 
$\dfrac{1}{3}$.
\item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{2}{3}$.
\item La probabilité que ce nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$ est $\dfrac{1}{2}$.
\item Avec les données que nous avons, nous ne pouvons pas calculer la probabilité que ce
nombre $x$ soit solution de l'inéquation $6x^2 - x - 1 > 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PARTIE III}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A}}\\

On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$\\
et la suite entière $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ telle que : $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 11 :} on démontre que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ni est pas définie pour certaines valeurs de $n$
\item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite de termes positifs,
\item $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est définie pour tous les nombres entiers $n$.
\item $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ n'est pas définie pour certaines valeurs de $n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12 :} $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  arithmétique de raison : $\dfrac{1}{5}$
\item arithmétique de raison : $\dfrac{4}{5}$
\item géométrique de raison : $\dfrac{4}{5}$
\item géométrique de raison : $\dfrac{1}{5}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13 :} nous avons donc :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(- \dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$
\item $v_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 14 :} on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ car :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{- \left(\dfrac{3}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1}{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\item $u_n = \dfrac{-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 1}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{B}}\\
On considère la suite entière $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_n = \dfrac{- 2n}{n + 5}$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 15 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n 2$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 3$
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 16 :}on cherche les nombres entiers $n$ qui vérifient: $\left|u_n + 2\right| \leqslant 10^{-4}$. On trouve :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $n \leqslant \np{99995}$
\item $n \geqslant \np{29995}$
\item $n \leqslant \np{9995}$
\item $n \geqslant \np{99995}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE IV}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
La température de refroidissement d'un objet initialement à la température de 220~\degres c est une fonction du temps que l'on note $f(t)$, l'unité de temps étant l'heure.\\
Cette fonction vérifie l'équation différentielle : $f'(t) + \dfrac{1}{2}f(t) = 10$.\\
On donne de plus : $\ln (0,15) \approx - 1,89$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 17 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ définie par $f(t) = 400\text{e}^{ - \frac{t}{2}}  + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 200\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 100\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\item La fonction $f$ définie par $f(t) = 300\text{e}^{ - \frac{t}{2}} + 20$ répond au modèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18 :} sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ qui répond au modèle décroît de 220 vers 20.
\item La fonction $f$ qui répond au modèle croît de 0 vers 220 .
\item La fonction $f$ qui répond au modèle est strictement monotone.
\item La fonction $f$ qui répond au modèle et n'est pas strictement monotone.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19 :} la température de l'objet est de 50~\degres C au bout de :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  3 heures et 78 minutes, arrondi à la minute par excès
\item 3,78 heures
\item 3 heures et 47 minutes, arrondi à la minute par excès
\item 3,47 heures.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{PARTIE V}

\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^1  \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$  ainsi que les fonctions $h$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-1~;~0]$ par $h(x) = \text{e}^x - 1 -x$ et $g(x) = h(x) - \dfrac{1}{2} x^2$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 20 :} sur l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $h$ est croissante
\item La fonction $h$ est décroissante
\item $h(x) \leqslant 0$
\item $ h(x)\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 21 :} on en déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est croissante.
\item La fonction $g$ est décroissante.
\item $g(x) \leqslant 0$.
\item $g(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 22 :} on déduit que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~0]$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 + x  \leqslant \text{e}^x$.
\item $1 + x + x^2  \leqslant \text{e}^x$
\item $\text{e}^x \leqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$.
\item $\text{e}^x \leqslant 1 + x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 23 :} on déduit alors que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$  :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $1 + x^2 \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2}$
\item $1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^x \leqslant 1 + x^2$
\item $1 - x^2 \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2}$
\item $1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2} \leqslant \text{e}^{-x^2} \leqslant 1 - x^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24 :} on déduit aussi que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{2}{3} \leqslant  \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}$
\item $\dfrac{2}{3} \leqslant  \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{10}$
\item $\dfrac{4}{3} \leqslant  \dfrac{23}{15}$
\item $\dfrac{23}{15} \leqslant I \leqslant \dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25 :} on en déduit une valeur approchée de $I$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $I \approx \dfrac{23}{30}$ à + ou $- 0,1$ près
\item $I \approx \dfrac{43}{60}$ à + ou $- 0,05$ près
\item $I \approx \dfrac{43}{30}$ à + ou $- 0,1$ près
\item $I \approx \dfrac{24}{15}$ à + ou $- 0,05$ près.
\end{enumerate}
\end{document}